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  1. $f$ est définie sur $[0;1]$ par $f(x)=2\sqrt{1-x^4}$
    Etudier les variations de $f$.

    Dérivée d'une fonction composée


    $u$ et $v$ sont définies et dérivables respectivement $I$ et $J$ avec $u(x)\in J$ pour tout $x\in I$. $vou$ est dérivable sur $I$ et $(vou)'=v'ou\times u'$.
    On pose $u(x)=1-x^4$ et $v(x)=2\sqrt{x}$
    On pose $u(x)=1-x^4$ et $v(x)=2\sqrt{x}$
    $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc sur $D$ mais $u(x)\neq 0$ pour $x=1$.
    La fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$
    donc $f=vou(x)=2\sqrt{u}$ est dérivable sur $[0;1[$ (car$u(x)=0$ pour $x=1$)
    On a $u'(x)=-4x^3$ et $v'(x)=\dfrac{2}{2\sqrt{x}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$
    donc $f'(x)=v'ou(x)\times u'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^4}}\times (-4x^3)=\dfrac{-4x^3}{\sqrt{1-x^4}}$
    $\sqrt{1-x^4} >0$ sur $[0;1[$ donc $f'(x)$ est du signe de son numérateur $-4x^3$.
    $x \geq 0$ donc $-4x^3 \leq 0$
  2. Montrer que l'équation $2\sqrt{1-x^4}=1$ admet une unique solution sur $[0;1]$.

    Théorème des valeurs intermédiaires


    $f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ (avec $a Si $k$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors il existe au moins un réel $c\in [a;b]$ tel que $f(c)=k$.

    Cas où la fonction est monotone
    Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et strictement monotone alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution.
    $f$ strictement monotone signifie que $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante).
    On veut finalement résoudre$f(x)=1$
    On veut donc résoudre l'équation $f(x)=1$ sur $[0;1]$.
    $u$ est continue sur $[0;1]$ donc $f=2\sqrt{u}$ est continue sur $D$.
    On a $f(0)=2\sqrt{1-0^4}=2$ et $f(1)=2\sqrt{1-1^4}=0$-
    $f$ est donc continue sur $[0;1]$ et $1$ est compris entre entre $f(0)$ et $f(1)$
    donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation $f(x)=1$ admet au moins une solution sur $D$.
    de plus $f$ est strictement décroissante sur $[0;1[$.

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Théorème des valeurs intermédiaires

- théorème des valeurs intermédiaires
- unicité de la solution avec une fonction monotone
- encadrement de la solution
- cas d'une fonction non monotone - exemples


infos: | 15mn |

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