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$f$ est une fonction continue et deux fois dérivable sur $[-3;2]$ et $f$ est concave sur $[-1;1]$.
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- Parmi les trois courbes proposées ci-dessous, quelle est celle qui correspond à la représentation graphique de la dérivée seconde $f~''$ de $f$.
Signe de la dérivée seconde
Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$
si $f''(x)>0$ sur $I$ alors $f$ est convexe
si $f''(x)<0$ sur $I$ alors $f$ est concaveSi $f$ est concave sur $[-1;1]$, $f~'$ est décroissante sur $[-1;1]$ et donc $f~''(x)<0$ sur $[-1;1]$.$f$ est concave sur $[-1;1]$ donc $f~'$ est décroissante sur $[-1;1]$ donc $f~''(x)<0$ sur $[-1;1]$
donc la courbe représentative $\mathcal{C}''$ de la dérivée seconde $f~''$ de $f$ est en-dessous de l'axe des abscisses sur $[-1;1]$ et au-dessus de l'axe des abscisses sur $[-3;-1]\cup [1;2]$
La courbe représentant la dérivée seconde $f~''$ courbe donnée dans la figure 3.
Avec le tableau de variation de $f~'$ et le tableau de signe de $f~''$:
\includegraphics[scale=1]{fig2} - On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$.
Déterminer le nombre de points d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ et leurs abscisses.point d'inflexion et dérivée seconde
si $f"(x)$ s'annule et change de signe en $x=x_A$ alors la courbe admet un point d'inflexion au point $A$.$f~''(x)$ s'annule et change de signe en $x=-1$ et en $x=1$
Avec la convexité de $f$:
La fonction est convexe sur $[-3;-1]$ puis concave sur $[-1;1]$ donc $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion en $x=-1$.
La fonction est concave sur $[-1;1]$convexe puis sur $[1;2]$ donc $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion en $x=1$.
C'est la fonction $f$ qui est convexe ou concave mais c'est la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ qui admet éventuellement un point d'inflexion.fat
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Lien entre dérivée seconde, dérivée et convexité
- convexité et variations de la dérivée
- convexité et signe de la dérivée seconde
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