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On donne la fonction $f$ définie sur $D_f=\mathbb{R}\setminus \left\lbrace 2 \right\rbrace$ par $f(x)=\dfrac{x-1}{2x-4}$
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- Calculer $f'(x)$ puis $f''(x)$
Formules de dérivation (produit, quotient...)
$f(x)=\dfrac{x-1}{2x-4}$
On pose $u(x)=x-1 $ et $v(x)=2x-4 $
et on a $u'(x)= 1 $ et $v'(x)= 2 $
$f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{1\times (2x-4)-(x-1)\times 2}{(2x-4 )^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{2x-4-x+1}{(2x-4 )^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{x-3}{(2x-4 )^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{x-3}{4x^2-16x+16}$
Calcul de $f~''(x)$:
On pose $u_1(x)=x-3 $ et $v_1(x)=4x^2-16x+16 $
et on a $u_1'(x)= 1 $ et $v_1'(x)= 8x-16 $
$f~''(x)=\dfrac{u_1'(x)v_1(x)-u_1(x)v_1'(x)}{(v_1(x))^2}$
$\phantom{f~''(x)}=\dfrac{1\times (4x^2-16x+16 )-(x-3)\times (2x-8)}{(4x^2-16x+16 )^2}$
$\phantom{f~''(x)}=\dfrac{4x^2-16x+16 -(2x^2-8x-6x+24)}{(4x^2-16x+16 )^2}$
$\phantom{f~''(x)}=\dfrac{4x^2-16x+16 -2x^2+8x+6x-24}{(4x^2-16x+16 )^2}$
$\phantom{f~''(x)}=\dfrac{2x^2-8x-8}{(4x^2-16x+16 )^2}$
- En déduire la convexité de $f$ en précisant, s'il y en a, les abscisses des points d'inflexion.
Signe de la dérivée seconde
Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$
si $f''(x)>0$ sur $I$ alors $f$ est convexe
si $f''(x)<0$ sur $I$ alors $f$ est concaveSigne de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$
- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)
- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
On peut dresser le tableau de signe de $f"$ puis en déduire les variations de $f'$
Pour étudier le signe de $f''(x)$, il faut étudier le signe du numérateur.$f~''(x)=\dfrac{2x^2-8x-8}{(4x^2-16x+16 )^2}$
$(4x^2-16x+16 )^2>0$ sur $D_f$
donc $f~''(x)$ est du signe de son numérateur $2x^2-8x-8$
Recherche des racines de $2x^2-8x-8$
$\Delta=b^2-4ac=64-4\times 2\times (-8)=0$
$\Delta=0$ donc il y a une racine:
$x_1=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{8}{4}=2$
et $x_1\notin D_f$
donc $f~''(x)$ est du signe de $a=2$ coefficient de $x^2$
La dérivée seconde s'annule et mais ne change pas de signe en $x_1=2$
donc la courbe représentative de $f$ n'admet aucun point d'inflexion. - Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ au point de la courbe d'abscisse 1.
Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}Calculer le coefficient directeur $f'(1)$ de cette tangente.
La tangente passe par le point de coordonnées $(1;f(1))$ donc il faut calculer également $f(1)$$f(x)=\dfrac{x-1}{2x-4}$ L donc $f(1)=\dfrac{1-1}{2-4}=0$
donc $f'(1)=\dfrac{1-3}{(2\times 1-4)^2}=\dfrac{-2}{4}\dfrac{-1}{2}$
$T$: $y=f'(1)(x-1)+f(1)=\dfrac{-1}{2}(x-1)+0=\dfrac{-x+1}{2}$
L'équation réduite d'une droite (non parallèle à l'axe des ordonnées) est de la forme $y=mx+p$ avec $m$ coefficient directeur.
On a donc ici $m=f'(1)=\dfrac{-1}{2}$ donc l'équation réduite de $T$ est de la forme $y=\dfrac{-1}{2}x+p$.
Le point A de coordonnées $(1;f(1))$ appartient à $T$ soit $x_A=1$ et $y_A=0$ donc on a:
$y_A=\dfrac{-1}{2}x_A+p \Longleftrightarrow 0=\dfrac{-1}{2}\times 1+p \Longleftrightarrow p=\dfrac{1}{2}$
et donc $T$ : $y=\dfrac{-1}{2}x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{-x+1}{2}$ - Contrôler graphiquement le résultat obtenu en traçant la courbe représentative de $f$ avec GEOGEBRA et tracer la tangente au point d'abscisse 1.
Convexité et tangentes
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle I et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
$f$ est convexe sur I si la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de ses tangentes.
Dans le cas contraire, $\mathcal{C}_f$ en-dessous de ses tangentes), $f$ est concave.Dans la barre de saisie, entrer la fonction $f$.
Dans la barre de saisie, en utilisant TANGENTE[abscisse, fonction], tracer la tangente au point d'abscisse 1.Saisir l'expression de $f$ dans la barre de saisie puis tracer la tangente en A par exemple en saisissant TANGENTE[1,$f$].
Courbe et tangente $T$ (en vert):
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