On pose $u(x)=x-3 $ et $v(x)= e^x $
$u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ donc $f=u\times v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
et on a $u'(x)= 1 $ et $v'(x)= e^x $
$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
$\phantom{f'(x)}=1e^x+( x-3)e^x$
$\phantom{f'(x)}=e^x+xe^x-3e^x$
$\phantom{f'(x)}=xe^x-2e^x$ (on a $e^x-3e^x=e^x(1-3)=-2e^x$)
$\phantom{f'(x)}=e^x(x-2)$ (il faut factoriser pour étudier le signe de $f'(x)$)
$e^x>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $x-2$
$x-2>0 \Longleftrightarrow x>2$
On a donc le tableau de variation suivant:

avec $f(2)=(2-3)e^2=-e^2$

On pose $u_1(x)= e^x $ et $v_1(x)= x-2 $
et on a $u_1'(x)= e^x $ et $v_1'(x)= 1 $
$f''(x)=u_1'(x)v_1(x)+u_1(x)v_1'(x)$
$\phantom{f''(x)}=e^x( x-2)+e^x\times 1$
$\phantom{f''(x)}=xe^x-2e^x+e^x$
$\phantom{f''(x)}=xe^x-e^x$
$\phantom{f''(x)}=e^x(x-1)$
$e^x>0$ donc $f''(x)$ est du signe de $x-1$
$x-1>0 \Longleftrightarrow x>1$
On a donc:

$f(1)=(1-3)e^1=-2e$ (point de contact entre $T$ et la courbe $A(1;-2e)$)
et $f'(1)=e^1\times (1-2)=-e$ (coefficient directeur de la tangente)
donc l'équation réduite de $T$ est de la forme $y=-ex+b$
$y_A=-ex_A+b \Longleftrightarrow -2e=-e\times 1+b \Longleftrightarrow b=-e$
donc $T$ a pour équation réduite $y=-ex-e$
Remarque
Avec la formule directe, on a:
$y=f'(1)(x-1)+f(1)$
$\phantom{y}=-e(x-1)-2e$
$\phantom{y}=-ex+e-2e$
$\phantom{y}=-ex-e$
On a $e\approx 2,7$ donc $T$ coupe l'axe des ordonnées en $-e\approx -2,7$ et passe par $A(1;-2e)$ soit $y_A\approx -5,4$