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La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=a+(x+b)e^{-x}$ avec $a$ et $b$ coefficients réels.
On donne ci-dessous la représentation graphique $C_f$ de la fonction $f$.
\begin{center}
\end{center}
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\begin{center}
\end{center}
- Exprimer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
Cas de la fonction $e^{u}$
La fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=e^{u(x)}$ avec $u$ fonction dérivable sur $I$ est dérivable sur $I$ et $f'(x)=u'(x)e^{u(x)}$On pose $u(x)=ax+b$ et $v(x)=e^{-x}$On a $f(x)=a+(x+b)e^{-x}$
On pose $u(x)=x+b$ et $v(x)=e^{-x}$
$u'(x)=1$ et $v'(x)$
$=(-x)'e^{-x}$
$=-e^{-x}$
$f'(x)=0+u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
$\phantom{f'(x)}=e^{-x}+(x+b)\left(-e^{-x}\right)$
$\phantom{f'(x)}=e^{-x}\left[1-(x+b)\right]$
$\phantom{f'(x)}=e^{-x}\left[-x-b+1\right]$
- En utilisant le graphique, déterminer $f(0)$ et $f'(0)$ et en déduire $a$ et $b$
Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}Il faut déterminer le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 0$T$ est la tangente à la courbe au point $A$
Graphiquement, $f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point $A$ d'abscisse 0
$C_f$ coupe l'axe des ordonnées en $A(0;1)$ donc $f(0)=1$
On a $f(x)=a+(x+b)e^{-x}$ et $f'(x)=(-x-b+1)e^{-x}$
$f(0)=a+(0+b)e^{-0}=a+b$
et $f'(0)=(-0-b+1)e^{-0}=-b+1$
$\begin{cases} f(0)=1\\ f'(0)=4 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} a+b=1\\ -b+1=4 \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} f(0)=1\\ f'(0)=4 \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} a+b=1\\ -b=3 \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} f(0)=1\\ f'(0)=4 \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=4\\ b=-3 \end{cases}$
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