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L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

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Dans chaque cas , donner l'ensemble de définition $D$, l'ensemble de dérivabilité $D'$ et calculer la dérivée.
  1. $f(x)=\dfrac{ln(x)}{x-1}$

    Dérivée de la fonction ln


    La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$

    Formules de dérivation (produit, quotient...)


    $ln$ est définie sur $]0;+\infty [$ et $x-1=0\Longleftrightarrow x=1$
    donc $D=]0:1[\cup ]1;+\infty[$
    On pose $u(x)=ln(x)$ et $v(x)=x-1$
    $u$ et $v$ sont dérivables sur $D$
    donc $f=\dfrac{u}{v}$ est dérivable sur $D$.
    $u'(x)=\dfrac{1}{x}$ et $v'(x)=1$
    $f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-ln(x)\times 1}{(x-1 )^2}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{1-ln(x)}{(x-1 )^2}$
  2. $f(x)=\sqrt{x}\times ln(x)$

    Dérivées usuelles


    Formules de dérivation (produit, quotient...)


    On pose $u(x)=\sqrt{x}$ et $v(x)=ln(x)$ et on a $f(x)=u(x)\times v(x)$
    $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ et la fonction racine carrée est définie sur $[0;+\infty[$
    donc $f$ est définie sur $D=]0;+\infty[$.
    On pose $u(x)=\sqrt{x}$ et $v(x)=ln(x)$ et on a $f(x)=u(x)\times v(x)$.
    $u$ et $v$ sont dérivables sur $]0;+\infty[$ donc $f=uv$ est dérivable sur $D'=]0;+\infty[$
    $u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ et $v'(x)=\dfrac{1}{x}$
    $f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}ln(x)+\sqrt{x}\times \dfrac{1}{x}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{ln(x)}{2\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{x}$


    En réduisant au même dénominateur on a:
    $f'(x)=\dfrac{ln(x)}{2\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{x}$
    $~~~~~~=\dfrac{ln(x)\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\sqrt{x}}+\dfrac{2\sqrt{x}}{2x}$
    $~~~~~~=\dfrac{ln(x)\sqrt{x}+2\sqrt{x}}{2x}$
    $~~~~~~=\dfrac{\sqrt{x}(ln(x)+2)}{2x}$

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Équations et inéquations avec ln

- lien entre ln et exp
- recherche de l'ensemble de définition
- résolution d'équations et d'inéquations
- utilisation des propriétés algébriques


infos: | 20-25mn |

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