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On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^2+4x+1}{x^2+1}$.
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- Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $f(x)=a+\dfrac{bx}{x^2+1}$ pour tout réel $x$.
- En déduire une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$
Dérivée de ln(u)
$u$ est définie et dérivable sur $I$ avec $u(x) > 0$
$ln(u)$ est dérivable sur $I$ et $(ln(u))'=(lnou)'=\dfrac{u'}{u}$On peut poser $u(x)=x^2+1$ et on a $u'(x)=2x$ soit $f(x)=1+2\dfrac{u'(x)}{u(x)}$$f$ est continue sur $\mathbb{R}$ ( fonction rationnelle) donc $f$ admet des primitives sur $\mathbb{R}$
$f(x)=1+2\times \dfrac{2x}{x^2+1}$
On pose $u(x)=x^2+1$ et on a $u'(x)=2x$ soit $f(x)=1+2\dfrac{u'(x)}{u(x)}$
$u(x)>0$ pour tout réel $x$.
donc $F(x)=x+2ln(u(x))=x+2ln(x^2+1)$
On a alors $F'(x)=1+2\times \dfrac{2x}{x^2+1}=1+\dfrac{4x}{x^2+1}=f(x)$
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