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On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=10+(x-3)e^x$.
  1. On pose $G(x)=(x-4)e^x$ définie sur $\mathbb{R}$.
    Calculer $G'(x)$.

    Formules de dérivation (produit, quotient...)


    On pose $u(x)=x-4$ et $v(x)=e^x$ et on a $G(x)=u(x)v(x)$
    On pose $u(x)=x-4$ et $v(x)=e^x$ et on a $G(x)=u(x)v(x)$
    $u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ donc $G$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
    $u'(x)=1$ et $v'(x)=e^x$
    $G'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
    $\phantom{G'(x)}=1e^x+(x-4)e^x$
    $\phantom{G'(x)}=e^x(1+x-4)$
    $\phantom{G'(x)}=e^x(x-3)$
  2. En déduire $\int_0^3 f(x)dx$.

    Intégrale


    La fonction $f$ est continue sur $[ab]$ et $F$ est une primitive de $f$ sur $[a;b]$
    $\int_a^b f(x)dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$
    Il faut chercher une primitive de $f$ sachant que $f(x)=10+G'(x)$
    $G'(x)=(x-3)e^x$ donc $G$ est une primitive de la fonction $x \longmapsto (x-3)e^x$ sur $\mathbb{R}$
    $f(x)=10+(x-3)e^x=10+G'(x)$
    donc $F(x)=10x+G(x)=10x+(x-4)e^x$
    $F(0)=10\times 0+(0-4)e^0=-4$ car $e^0=1$
    $F(3)=10\times 3+(3-4)e^3=30-e^3$
    $\int_0^3 f(x)dx=[F(x)]_0^3=F(3)-F(0)=30-e^3-(-4)=34-e^3$

    penser à contrôler le résultat avec la calculatrice
  3. Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$ sur $[0;3]$

    Formules de dérivation (produit, quotient...)


    On pose $u(x)=x-3$ et $v(x)=e^x$
    On pose $u(x)=x-3$ et $v(x)=e^x$ dérivables sur $[0;3]$
    et on a $f(x)=10+u(x)v(x)$ dérivable sur $[0;3]$
    $u'(x)=1$ et $v'(x)=e^x$
    $f'(x)=0+u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
    $=1e^x+(x-3)e^x$
    $=e^x(1+x-3)$
    $=e^x(x-2)$
    $e^x >0$ donc $f'(x)$ est du signe de $x-2$

    $f(0)=10+(0-3)e^0=7$ (rappel $e^0=1$)
    $f(2)=10+(2-3)e^2=10-e^2$
    $f(3)=10+(3-3)e^3=10$
  4. En déduire le signe de $f(x)$ sur $[0;3]$.
    Calculer le minimum de $f$ sur $[0;3]$
    Sur $[0;3]$ le minimum de $f$ est $f(2)>0$
    donc $f(x)\geq f(2)>0$
  5. On donne ci-dessous la représentation graphique de $f$.
    Déterminer ce que représente le résultat de la question 2 sur le graphique en justifiant la réponse.

    Aire et intégrale


    $f$ est une fonction continue et positive sur $[a;b]$ avec $a < b$.
    $\int_a^b f(x)dx$ est l'aire, en unités d'aires, du domaine limité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.
    Attention il faut faire le lien entre aire et intégrale pour justifier la réponse
    Sur $[0;3]$ on a $f$ continue et $f(x)>0$
    donc $\int_0^3 f(x)dx$ est l'aire $A$ du domaine limité par la courbe, l'axe des abscisses et le droites d'équations $x=0$ et $x=3$


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