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On considère la fonction numérique $f$ définie sur $[0;1]$ par $f(x)=xln(x+1)+1$.
On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.
$C_f$ est donnée ci-dessous.

On veut déterminer une approximation de $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$.
  1. Que représente $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$ sur le graphique?

    Aire et intégrale


    $f$ est une fonction continue et positive sur $[a;b]$ avec $a < b$.
    $\int_a^b f(x)dx$ est l'aire, en unités d'aires, du domaine limité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.
    $f$ est continue sur $[0;1]$ ($xln(x+1)$ est produit de deux fonctions continues sur $[0;1]$).
    $x\geq 0$ donc $x+1 \geq 1$ donc $ln(x+1) \geq 0$
    et on a $f(x)>0$ sur $[0;1]$.
    $f$ est continue et $f(x)>0$ sur $[0;1]$ donc $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$ est l'aire, en unités d'aires, du domaine (en rouge ci-dessous) limité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.
  2. Calculer $f(0)$ puis $\displaystyle \int_0^1 f(0)dx$.
    Une primitive d'une fonction constante $u(x)=C$ est de la forme U(x)=Cx$
    $f(0)=0ln(0+1)+1=1$
    $\displaystyle \int_0^1 f(0)dx=\displaystyle \int_0^1 1 dx=[x]_0^1=1-0=1$
  3. On utilise deux rectangles de largeur 0,5 pour approximer l'aire correspondant à $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$.

    En utilisant ces deux rectangles, donner une approximation de l'aire cherchée.
    Il faut calculer $f(0)$ et $f(0,5)$
    $f(0)=1$ et $f(0,5)=0,5ln(1,5)+1\approx 1,2$
    Si on note $A_1$ l'aire du rectangle de largeur 0,5 et hauteur $f(0)$ (rectangle de gauche) et $A_2$ l'aire du rectangle de largeur 0,5 et hauteur $f(0,5)$ (rectangle de droite) on a:
    $A_1=0,5\times 1=0,5$ unités d'aires et $A_2=0,5\times (0,5ln(1,5)+1)=0,25ln(1,5)+0,5$ unités d'aires.
  4. On veut maintenant partager l'intervalle $[0;1]$ en $n$ intervalles d'amplitude $\dfrac{1}{n}$(voir graphique ci-dessous) et calculer la somme des aires des rectangles obtenus comme dans le cas précédent.

    On note $x_k$ les abscisses $\dfrac{k}{n}$ avec $k$ entier naturel compris entre 0 et $n-1$.
    Exprimer l'aire de chacun des rectangles en fonction de $n$
    Il faut calculer la hauteur de chaque rectangle en fonction de l'abscisse $\dfrac{k}{n}$
    $f\left(\dfrac{k}{n}\right)=\dfrac{k}{n}\times ln\left(\dfrac{k}{n}+1\right)+1$
    donc $A_n=\dfrac{1}{n}\times \dfrac{k}{n}\times ln\left(\dfrac{k}{n}+1\right)+1=\dfrac{k\times ln\left(\dfrac{k}{n}+1\right)}{n^2}+\dfrac{1}{n}$
  5. On donne l'algorithme ci-dessous permettant de calculer la somme des aires des rectangles obtenus en divisant l'intervalle $[0;1]$ en $n$ intervalles de même amplitude.

    Que représente $A$? $n$? et $x$?
    $A$ représente la somme des aires des rectangles.
    $n$ représente le nombre de rectangles permettant d'approximer l'aire cherchée.
    et $x$ représente les abscisses des points successifs pris pour calculer la hauteur de chaque rectangle.
  6. Quel est le calcul effectué à la ligne 11?
    $\dfrac{1}{n}$ est la largeur du rectangle pour lequel on calcule l'aire.
    $xln(x+1)+1$ correspond dont à la hauteur du rectangle
    et donc $\frac{1}{n}\times (xln(x+1)+1)$ l'aire du rectangle à ajouter à la somme des aires
  7. Ecrire le programme en Python .
    $ln(x)$ en python s'écrit $log(x,e)$ (logarithme décimal de base $e$

    input: saisir une variable


    x=input("saisir la valeur de x") --> permet de saisir la valeur de x par l'utilisateur
    Si on veut saisir un entier par exemple: x=int(input("saisir un nombre entier"))
    Si on veut saisir un réel x=float(input("saisir un nombre"))

    Boucle POUR


    for i in range(n) : --> i varie de 0 à n-1 soit n passages dans la boucle
       instructions de la boucle pour

    for i in range(a,n) : --> i varie de a à n-1
       instructions de la boucle pour

    ln(x) s'écrit log(x,e) (logarithme décimal de base e)
  8. Donner une approximation pour $n=10$ puis pour $n=50$ de $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$ puis contrôler avec la calculatrice.

    Avec Casio:
    OPTION puis CALC puis $\int$ avec la syntaxe $\int(xln(x+1)+1$,0,1).
    Avec TI: MATHS puis fnInt (numéro 9) avec la syntaxe fnInt($xln(x+1)+1$,$X$,0,1)

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Aires et intégrales

- approximation d'une intégrale avec le graphique
- calcul d'une aire et rédaction type avec une fonction positive


infos: | 15mn |

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