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L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

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Dans une classe de 32 élèves comprenant 19 garçons et 13 filles, on doit élire 4 représentants la classe.
  1. Quel est le nombre de choix possibles ?

    Produit factorielle


    Soit $n$ un entier naturel non nul,
    $n!=n(n-1)(n-2)....\times 3\times 2\times 1$
    Par exemple $5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$

    Combinaisons


    $E$ est un ensemble de $n$ éléments et $0\leq p \leq n$.
    Une combinaison de $p$ éléments de $E$ est un sous ensemble (ou partie) de $p$ éléments de $E$.
    Pour une combinaison, on ne tient pas compte de l'ordre des éléments de la $p$-liste et il n'y a pas de répétitions d'éléments identiques.
    Le nombre de combinaisons de $p$ ($p\leq n$) éléments de $E$ est l'entier naturel noté $\begin{pmatrix} n\\p \end{pmatrix}=n\times(n-1) \times \cdots \times(n-p+1) = \dfrac{n!}{p!(n-p)!}$
    On cherche le nombre combinaisons de 2 élèves parmi 32
    On cherche donc le nombre combinaisons de 2 élèves parmi 32
    soit $\begin{pmatrix} 32\\4 \end{pmatrix}=\dfrac{32!}{4!(32-4)!}=\dfrac{32!}{28!4!}=\dfrac{32\times 31\times 30\times 29}{ 4\times 3\times 2\times 1}=35960$
  2. Quel est le nombre de choix si l'on impose la parité, c'est à dire 2 garçons et 2 filles?
    On cherche le nombre combinaisons de 2 garçons parmi 19 et de deux filles parmi 13
    On cherche donc le nombre combinaisons de 2 garçons parmi 19
    soit $\begin{pmatrix} 19\\2 \end{pmatrix}=\dfrac{19!}{2!(19-2)!}=\dfrac{19!}{2!17!}=\dfrac{19\times 18}{2\times 1}=171$
    On cherche donc le nombre combinaisons de 2 filles parmi 13
    soit $\begin{pmatrix} 13\\2 \end{pmatrix}=\dfrac{13!}{2!(13-2)!}=\dfrac{13!}{2!11!}=\dfrac{13\times 12}{2\times 1}=78$

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