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On considère une expérience aléatoire ayant deux issues possibles $S$ (succès) et $E$ (échec) avec $p(S)=0,3$.
On répète 20 fois successivement cette expérience aléatoire de manière indépendante et on note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de succès obtenus parmi les 20 expériences répétées.
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On répète 20 fois successivement cette expérience aléatoire de manière indépendante et on note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de succès obtenus parmi les 20 expériences répétées.
- Quelle est la loi de probabilité de $X$?
Schéma de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire n'ayant que deux issues possibles que l'on notera pour la suite $S$ et $E=\overline{S}$.
La répétition de $n$ ($n\in \mathbb{N}^*$) épreuves de Bernoulli indépendantes est appelé un schéma de Bernouilli.Loi binomiale
On considère une répétition de $n$ ($n\in \mathbb{N}^*$) épreuves de Bernoulli indépendantes et on note $p$ la probabilité de succès. l La variable aléatoire $X$ donnant le nombre de succès obtenus parmi $n$ épreuves de Bernoulli suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ notée $\mathbb{B}(n;p)$Justifier que l'on répète successivement des épreuves de Bernoulli indépendantes.L'expérience aléatoire n'a que deux issues possibles $S$ et $E=\overline{S}$, c'est donc une épreuve de Bernoulli.
On répète 20 fois successivement de manière indépendante cette épreuve de Bernoulli et donc la loi de probabilité de $X$ (nombre de fois où l'on obtient $S$ parmi les 20 épreuves) suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,3$ notée $\mathcal{B}(20;0,3)$.
- Calculer $p(X=0)$ puis $p(X=5)$.
Combinaisons
$E$ est un ensemble de $n$ éléments et $0\leq p \leq n$.
Une combinaison de $p$ éléments de $E$ est un sous ensemble (ou partie) de $p$ éléments de $E$.
Pour une combinaison, on ne tient pas compte de l'ordre des éléments de la $p$-liste et il n'y a pas de répétitions d'éléments identiques.
Le nombre de combinaisons de $p$ ($p\leq n$) éléments de $E$ est l'entier naturel noté $\begin{pmatrix} n\\p \end{pmatrix}=n\times(n-1) \times \cdots \times(n-p+1) = \dfrac{n!}{p!(n-p)!}$Probabilités avec la loi binomiale
Si la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, la probabilité d'obtenir $k$ succès parmi $n$ est:
$p(X=k)=\begin{pmatrix} n\\ k\\ \end{pmatrix}\times p^k\times (1-p)^{n-k}$$p(X=0)=\begin{pmatrix} 20\\ 0\\ \end{pmatrix}\times 0,3^0\times 0,7^{20}=0,7^{20}\approx 0,008$ (rappel: $C_n^0=\begin{pmatrix} 0\\ n\\ \end{pmatrix}=1$ avec $n$ entier naturel)
$\begin{pmatrix} 20\\ 5\\ \end{pmatrix}=\dfrac{20!}{5!(20-5)!}=\dfrac{20!}{5!15!}=\dfrac{20\times 19\times 18\times 17\times 16}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=15504$
$p(X=5)=\begin{pmatrix} 20\\ 5\\ \end{pmatrix}\times 0,3^5\times 0,7^{15}=15504\times 0,3^5\times 0,7^{15}\approx 0,18$
Rappel: Calculatrice et coefficients binomiaux
MENU Calcul puis OPTN (options) et PROB puis utiliser nCr en saisissant 20C5 . On obtient alors 15504.
On peut aussi calculer directement $p(X=5)$ avec la calculatrice MENU STAT puis DIST et BINM puis Bcd (voir fiche méthode calculatrice et loi binomiale) - Calculer $p(X\geq 1)$
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