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Une planche de Galton est un dispositif inventé par Sir Francis Galton.
Des clous sont plantés sur la partie supérieure de la planche, de telle sorte qu'une bille lâchée sur la planche passe soit à droite soit à gauche pour chaque rangée de clous.
Dans la partie inférieure les billes sont rassemblées en fonction du nombre de passages à gauche et de passage à droite qu'elles ont fait. Ainsi chaque case correspond à un résultat possible d'une expérience binomiale (en tant qu'une expérience de Bernoulli répétée.
Les cases sont numérotées de 0 à $n$, la case 0 correspondant à 0 passages à gauche, 1 pour 1 passage à gauche....
On note $n$ le nombre de rangées de clous sur la planche (voir figure)
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Des clous sont plantés sur la partie supérieure de la planche, de telle sorte qu'une bille lâchée sur la planche passe soit à droite soit à gauche pour chaque rangée de clous.
Dans la partie inférieure les billes sont rassemblées en fonction du nombre de passages à gauche et de passage à droite qu'elles ont fait. Ainsi chaque case correspond à un résultat possible d'une expérience binomiale (en tant qu'une expérience de Bernoulli répétée.
Les cases sont numérotées de 0 à $n$, la case 0 correspondant à 0 passages à gauche, 1 pour 1 passage à gauche....
On note $n$ le nombre de rangées de clous sur la planche (voir figure)
- Justifier que la variable aléatoire $X$ correspondant au nombre de passages à gauche d'une bille suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Schéma de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire n'ayant que deux issues possibles que l'on notera pour la suite $S$ et $E=\overline{S}$.
La répétition de $n$ ($n\in \mathbb{N}^*$) épreuves de Bernoulli indépendantes est appelé un schéma de Bernouilli.Loi binomiale
On considère une répétition de $n$ ($n\in \mathbb{N}^*$) épreuves de Bernoulli indépendantes et on note $p$ la probabilité de succès. l La variable aléatoire $X$ donnant le nombre de succès obtenus parmi $n$ épreuves de Bernoulli suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ notée $\mathbb{B}(n;p)$Identifier le schéma de Bernouilli correspondant à cette situation.$X$ est la variable aléatoire correspondant au nombre de passages à gauche.
$X$ peut prendre toute valeur entière comprise entre 1 et $n$ soit l'ensemble $\left\lbrace 1;2..........;n\right\rbrace $
On considère l'épreuve de Bernoulli qui consiste à prendre un clou au hasard avec les issues possibles $S$: "la bille passe à gauche" et $E=\overline{S}$: "la bille passe à droite".
On a $p(S)=p(E)=0,5$
Chaque passage sur un clou est indépendant des autres et donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $0,5$ notée aussi $\mathcal{B}(n;0,5)$.
- Ecrire un algorithme en python permettant de savoir combien de fois la bille est passée à gauche avec 5 rangées.
On peut générer un entier naturel compris entre $0$ et $p$ en utilisant randint(0;p).print: affichage d'une variable
affichage:
print("afficher la variable") --> affiche le texte entre guillemets
print(x)--> affiche la valeur de la variable x
print("afficher la valeur de x",x) --> affiche le message entre guillemets et la valeur de la variable xTest IF..THEN..ELSE
if test à effectuer : instructions du si
else: instruction du sinonBoucle POUR
for i in range(n) : --> i varie de 0 à n-1 soit n passages dans la boucle
instructions de la boucle pour
for i in range(a,n) : --> i varie de a à n-1
instructions de la boucle pour
Pour simuler chaque passage sur un clou on peut générer un nombre entier prenant la valeur 0 ou 1
in range(0,10) par exemple fait un parcours des valeurs comprises entre 0 et 9 soit 0, 1,2,...,9On peut utiliser le nombre 0 pour simuler un passage à gauche et 1 pour simuler un passage à droite.
- Modifier cet algorithme pour qu'il simule le passage sur une planche à $n$ rangées, le nombre $n$ étant saisi par l'utilisateur.
input: saisir une variable
x=input("saisir la valeur de x") --> permet de saisir la valeur de x par l'utilisateur
Si on veut saisir un entier par exemple: x=int(input("saisir un nombre entier"))
Si on veut saisir un réel x=float(input("saisir un nombre"))Il faut donc parcourir les enriers allant de 0 à $n$on doit faire une boucle pour passer $n$ fois dans la boucle soit in range(0,n) soit de 0 à $n-1$ donc $n$ passages ou bien in range(1,n+1) pour effectuer des passages de 1 à $n$
- On donne l'algorithme suivant:
Le nombre j indique le nombre de billes lâchées en haut de pla plancheOn reprend l'algorithme ci-dessus et on effectue le passage sur la planche 20 fois (j in range (0,20))
La variable S ajoute le numéro de la case obtenue à chaque fois et $M=\dfrac{S}{20}$ calcule le numéro de la case obtenue en moyenne sur 20 billes.
- Faire fonctionner cet algorithme avec 21 rangées (soit 22 cases) et comparer avec l'espérance de la loi binomiale simulée.
Espérance de la loi binomiale
On considère la variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale de paramètres $n$ (nombre d'épreuves de Bernoulli indépendantes répétées) et $p$ (probabilité de l'événement $S$), on a alors: $E(X)=np$Si on saisit $n=21$, on a:
$E=n\times p=21\times 0,5=10,5$
En moyenne, la bille arrive sur la case numéro $10,5$
L'espérance est proche de la moyenne obtenue...
On peut remarquer que la répartition des billes dans les cases approche la forme d'une courbe de Gauss.
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