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$ABCD$ est un tétraèdre et $E$ est le poiint défini par $\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{DC}$.
$K$ est le point défini par la relation $\overrightarrow{SK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{SC}$.
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- Faire ne figure.
Emmetre une conjecture sur la position des points $A$, $E$, $C$ et $D$..
- Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont coplanaires et justifier alors la conjecture de la question 1.
vecteurs coplanaires
Trois vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ non nuls sont coplanaires si les points $A$, $B$, $C$ et $D$ définis par $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{AD} =\overrightarrow{w}$ sont dans un même plan.
On peut exprimer $\overrightarrow{AE}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$$\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{DC}$
$\phantom{\overrightarrow{AE}}=\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC})$
$\phantom{\overrightarrow{AE}}=-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}$
donc il existe $\alpha$ et $\beta$ tels que $\overrightarrow{AE}=\alpha \overrightarrow{AD}+\beta \overrightarrow{AC}$
donc les vecteurs $\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont coplanaires
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