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$ABCDEFGH$ est un cube de côté $\alpha$.

$I$ est le point d'intersection de la droite $(EC)$ et du plan $(AFH)$.
  1. Calculer $\overrightarrow{EA}.\overrightarrow{AF}$, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}$ et $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AF}$.

    Produit scalaire avec les projetés orthogonaux


    Soit $A$, $B$ et $C$ trois points ($A$ et $B$ distincts) et $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$
    Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=0$ (soit $\widehat{BAC}$ aigu)
    et $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=\pi$ (soit $\widehat{BAC}$ obtus)

    Orthogonalité et produit scalaire


    Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, on a:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.
    Le projeté orthogonal de $F$ sur $(AE)$ est $E$.
    Le projeté orthogonal de $F$ sur $(AB)$ est $B$
    \overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}$
    Le projeté orthogonal de $F$ sur $(AE)$ est $E$
    donc $\overrightarrow{EA}.\overrightarrow{AF}=-\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AF}=-AE^2=-\alpha^2$
    Le projeté orthogonal de $F$ sur $(AB)$ est $B$
    $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}=AB^2=\alpha^2$
    $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{BC}.(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF})$
    $\phantom{\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AF}}=\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BF}$
    or $\overrightarrow{BC}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BF}$
    $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AF}=0$
  2. En déduire que les vecteurs $\overrightarrow{EC}$ et $\overrightarrow{AF}$ sont orthogonaux.
    On peut décomposer $\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF}$
    $\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}$
    $\overrightarrow{EC}.\overrightarrow{AF}=(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}).\overrightarrow{AF}$
    $\phantom{\overrightarrow{EC}.\overrightarrow{AF}}=\overrightarrow{EA}.\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BF}.\overrightarrow{AF}$
    $\phantom{\overrightarrow{EC}.\overrightarrow{AF}}=-\alpha^2+\alpha^2+0$ (avec les résultats précédents)
    $\phantom{\overrightarrow{EC}.\overrightarrow{AF}}=-\alpha^2+\alpha^2+0$
    $\phantom{\overrightarrow{EC}.\overrightarrow{AF}}=0$
  3. Pour la suite, on admettra de même que les vecteurs $\overrightarrow{EC}$ et $\overrightarrow{AF}$ sont orthogonaux.
    Montrer alors que $I$ est le projeté orthogonal de $E$ sur $(AFH)$.

    droite et plan orthogonaux


    Une droite $(d)$ est orthogonale à un plan si et seulement si un vecteur directeur de $(d)$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs de du plan.
    Il faut montrer que $(EC)$ donc $(EI)$ est orthogonale à deux droites sécantes du plan $(AFH)$.
    $\overrightarrow{EC}$ est orthogonal aux vecteurs directeurs $\overrightarrow{AF}$ et $\overrightarrow{AH}$ du plan $(AFH)$
    donc $(EC)$ est orthogonale à deux droites sécantes de $(AFH)$
    donc $(EC)$ ou $(EI)$ est orthogonale au plan $(AFH)$ avec $I\in (AFH)$
  4. Montrer que les droites $(AI)$ et $(HF)$ sont orthogonales et que les droites $(HI)$ et $(AF)$ sont orthogonales.
    On peut calculer $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{HF}$ en décomposant $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EI}$
    $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{HF}=(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EI}).\overrightarrow{HF}$
    $\phantom{\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{HF}}=\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{HF}+\overrightarrow{EI}.\overrightarrow{HF}$
    $(AE)$ est orthogonale au plan $(EHF)$ donc à toute droite du plan $(EHF)$
    donc à la droite $(HF)$ et $\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{HF}=0$
    $(EI)$ est orthogonale au plan $(AFH)$ donc à toute droite du plan $(AFH)$
    donc à la droite $(HF)$ et $\overrightarrow{EI}.\overrightarrow{HF}=0$
    donc $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{HF}=0$

    $\overrightarrow{HI}.\overrightarrow{AF}=(\overrightarrow{HE}+\overrightarrow{EI}).\overrightarrow{AF}$
    $\phantom{\overrightarrow{HI}.\overrightarrow{AF}}=\overrightarrow{HE}.\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{EI}.\overrightarrow{AF}$

    $(HE)$ est orthogonale au plan $(ABF)$ donc à toute droite du plan $(ABF)$
    donc à la droite $(AF)$ et $\overrightarrow{HE}.\overrightarrow{AF}=0$
    $(EI)$ est orthogonale au plan $(AFH)$ donc à toute droite du plan $(AFH)$
    donc à la droite $(AF)$ et $\overrightarrow{EI}.\overrightarrow{AF}=0$
    donc $\overrightarrow{HI}.\overrightarrow{AF}=0$
  5. En déduire la position du point $I$ dans le triangle $AFH$.
    $I$ est donc le point d'intersection des hauteurs $(HI)$ et $(AI)$ dans $AFH$ et $AF=HF=AH$
    Dans le plan $(AFH)$ on a:
    $(AI)\perp (HF)$ donc $(AI)$ est la hauteur issue de $A$ dans le triangle $AFH$ et $(HI)\perp (AF)$ donc $(HI)$ est la hauteur issue de $H$ dans le triangle $AFH$
    donc $I$ est le point de concours des hauteurs du triangle $AFH$ et c'est donc l'orthocentre du triangle.
    Comme $AF=FH=AH$ (diagonales des faces carrées) le triangle $AFH$ est équilatéral et donc $I$ est aussi le centre de gravité de $AFH$.

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