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Dans un repère orthonormé de l'espace, le plan $P$ a pour équation $2x-3y+4z-1=0$.
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- Le point $A(4;5;2)$ appartient-il à $P$?
Le point $B(0;11;-6)$ appartient-il à $P$?
Il faut déterminer si l'égalité définissant le plan $P$ est vérifiée par les coordonnées de $A$$2x_A-3y_A+4z_A-1=2\times 4-3\times 5+4\times 2-1=8-15+8-1=0$
il ne faut pas écrire $2x_A-3y_A+4z_A-1=0\Longleftrightarrow ....$ car on ne sait pas si $A \in P$ et donc si ses coordonnées vérifient cette équation.
$2x_B-3y_B+4z_B-1=2\times 0-3\times 11+4\times (-6)-1=-33-24-1=-58\neq 0$
- Donner les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal au plan $P$.
Vecteur normal à un plan-équation cartésienne d'un plan
Dans l'espace muni d'un repère othonormé, $P$ est un plan de l'espace, un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $P$ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$ et $P$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$.
$ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne de $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$ - Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
Que peut-on dire des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{n}$?
En déduire la position relative de $(AB)$ et $P$.Coordonnées d'un vecteur dans l'espace
L'espace est muni d'un repère quelconque.
Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix} $droite et plan orthogonaux
Une droite $(d)$ est orthogonale à un plan si et seulement si un vecteur directeur de $(d)$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs de du plan.
Les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=0-4=-4\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=11-5=6\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=-6-2=-8 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -4\\ 6\\ -8 \end{pmatrix} $
$-2x_{\overrightarrow{n}}=-2\times 2=-4=x_{\overrightarrow{AB}}$
$-2y_{\overrightarrow{n}}=-2\times (-3)=6=y_{\overrightarrow{AB}}$
$-2z_{\overrightarrow{n}}=-2\times 4=-8=z_{\overrightarrow{AB}}$
donc $-2\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}$
donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{n}$ sont colinéaires
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