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Plus d'infos
  1. spécialité maths terminale
  2. chapitre 9 Coordonnées dans l'espace
  3. exercice corrigé nº1375

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Description de la figure dans l'espace muni du repère orthonormé $\left(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE}\right)$
$ABCDEFGH$ désigne un cube de côté 1.
On appelle $\mathcal{P}$ le plan $(AFH)$.
Le point $I$ est le milieu du segment $[AE]$,
le point $J$ est le milieu du segment $[BC]$,
  1. Donner (sans justifier) les coordonnées des sommets du cube dans le repère $\left(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE}\right)$.

    Aide

    $(AB)$ est l'axe des abscisses et $B(1;0;0)$...

    Solution

    $A$ est l'origine du repère donc $A(0;0;0)$.
    $(AB)$ défini l'axe des abscisses et $[AB]$ est l'unité de longueur donc $B(1;0;0)$.
    De même, $D(0;1;0)$ et $E(0;0;1)$.
    $C(1;1;0)$, $F(1;0;1)$, $G(1;1;1)$ et $H(0;1;1)$.
  2. Calculer les coordonnées de $I$ et de $J$ et en déduire que les $(IJ)$ et $(EC)$ sont strictement parallèles.

    Rappel de cours

    Coordonnées du milieu

    L'espace est muni d'un repère quelconque.
    Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$ Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2};\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)$

    Solution

    $\begin{cases} x_I=\dfrac{x_A+x_E}{2}=\dfrac{0+0}{2}=0\\ y_I=\dfrac{y_A+y_E}{2}=\dfrac{0+0}{2}=0\\ z_I=\dfrac{z_A+z_E}{2}=\dfrac{0+1}{2}=\dfrac{1}{2} \end{cases}$

    $\begin{cases} x_J=\dfrac{x_B+x_C}{2}=\dfrac{1+1}{2}=1\\ y_J=\dfrac{y_B+y_C}{2}=\dfrac{0+1}{2}=\dfrac{1}{2}\\ z_J=\dfrac{z_B+z_C}{2}=\dfrac{0+0}{2}=0 \end{cases}$

    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{IJ}}=x_J-x_I=1-0=1\\ y_{\overrightarrow{IJ}}=y_J-y_I=\dfrac{1}{2}\\ z_{\overrightarrow{IJ}}=z_J-z_I=-\dfrac{1}{2} \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix} 1\\ \dfrac{1}{2}\\ -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix} $
    et $\overrightarrow{EC}\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}$
    $x_{\overrightarrow{IJ}}=1=x_{\overrightarrow{EC}}$
    et $2y_{\overrightarrow{IJ}}=2\times \dfrac{1}{2}=1=y_{\overrightarrow{EC}}$
    donc il n'existe pas de réel $k$ tel que $k\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{EC}$ ñ donc les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{EC}$ ne sont pas colinéaires
  3. Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont-elles coplanaires?

    Aide

    $I$ appartient au plan $(ECA)$...

    Solution

    $I$ appartient au plan $(ECA)$ donc si $(IJ)$ et $(EC)$ étaient coplanaires alors le point $J$ appartiendrait au plan $(ECA)$ or $J\notin (ECA)$
  4. Les droites $(AF)$ et $(BG)$ sont-elles orthogonales?

    Rappel de cours

    Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace

    Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$.
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$

    Orthogonalité et produit scalaire

    Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, on a:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.

    Solution

    $\overrightarrow{AF}\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BG}\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$
    $\overrightarrow{AF}. \overrightarrow{BG}=1\times 0+0\times 1+1\times 1=1$
  5. Ces deux droites $(AF)$ et $(BG)$ sont-elle sécantes?

    Aide

    La droite $(AF)$ coupe le plan $(BCG)$ en $F$

    Solution

    La droite $(AF)$ coupe le plan $(BCG)$ en $F$ car $F$ appartient au plan $(BCG)$.
    or $F\notin (BG)$ dans le plan $(BCG)$
  6. La droite $(EC)$ est-elle perpendiculaire au plan $(AEH)$?

    Rappel de cours

    droite et plan orthogonaux

    Une droite $(d)$ est orthogonale à un plan si et seulement si un vecteur directeur de $(d)$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs de du plan.

    Aide

    On peut calculer $\overrightarrow{EC}.\overrightarrow{AF}$ et $\overrightarrow{EC}.\overrightarrow{AH}$

    Solution

    $\overrightarrow{EC}\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AF}\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AH}\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$
    $\overrightarrow{EC}.\overrightarrow{AF}=1\times 1+1\times 0+(-1)\times 1=1-1=0$
    et $\overrightarrow{EC}.\overrightarrow{AH}=1\times 0+1\times 1+(-1)\times 1=1-1=0$
    donc le vecteur $\overrightarrow{EC}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{AF}$ et $\overrightarrow{AH}$
    donc la droite $(EC)$ est orthogonale à deux droites sécantes du plan $(AFH)$

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Equation cartésienne d'un plan

- vecteur normal
- déterminer une équation d'un plan
- position relative d'une droite et d'un plan
- intersection de droites et plans

infos: | 15-20mn |

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Plan et droite orthogonaux
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