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Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $A(3;-2;2)$, $B(6;1;5)$ et $C(6;-2;-1)$.
  1. Montrer que les points $ABC$ est un triangle rectangle en $A$.

    Coordonnées d'un vecteur dans l'espace


    L'espace est muni d'un repère quelconque.
    Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$
    $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix} $

    Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace


    Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$.
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$
    Il faut vérifier que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=6-3=3\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=1-(-2)=3\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=5-2=3 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 3 \end{pmatrix} $
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AC}}=x_C-x_A=6-3=3\\ y_{\overrightarrow{AC}}=y_C-y_A=-2-(-2)=0\\ z_{\overrightarrow{AC}}=z_C-z_A=-1-2=-3 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 3\\ 0\\ -3 \end{pmatrix} $
    $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=3\times 3+3\times 0+3\times (-3)=9-9=0$
    donc le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est orthogonal au vecteur $\overrightarrow{AC}$
  2. Soit $P$ d'équation $x+y+z-3=0$, montrer que la droite $(AB)$ est orthogonale au plan $P$ et que $(AB)$ et $P$ sont sécants en $A$.

    Vecteur normal à un plan-équation cartésienne d'un plan


    Dans l'espace muni d'un repère othonormé, $P$ est un plan de l'espace, un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $P$ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.
    Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$ et $P$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$.
    $ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne de $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$
    Il faut vérifier qu'un vecteur normal au plan $P$ est colinéaire à un vecteur directeur de $(AB)$
    $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$ (coefficients de $x$, $y$ et $z$) est un vecteur normal au plan $P$
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=6-3=3\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=1-(-2)=3\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=5-2=3 \end{cases}$ donc $3\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}$
    donc le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est colinéaire au vecteur $\overrightarrow{n}$ normal au plan $P$

    $x_A+y_A+z_A-3=3-2+2-3=0$ donc les coordonnées de $A$ vérifient l'équation cartésienne de $P$ donnée dans l'énoncé
  3. Déterminer une équation cartésienne du plan $P'$ orthogonal à la droite $(AC)$ et passant par $A$.
    $\overrightarrow{AC}$ est un vecteur normal au plan $P'$.
    $P'$ est orthogonal à la droite $(AC)$ donc $\overrightarrow{AC}$ est un vecteur normal au plan $P'$.
    $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 3\\ 0\\ -3 \end{pmatrix} $ donc une équation cartésienne de $P'$ est de la forme $3x+0y-3z+d'=0$.
    $A\in P'\Longleftrightarrow 3x_A-3z_A+d'=0 \Longleftrightarrow 9-6+d'=0 \Longleftrightarrow d'=-3$
    $3x-3z-3=0 \Longleftrightarrow\Longleftrightarrow x-z-1=0$
  4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ intersection des plans $P$ et $P'$.
    Il faut écrire une équation d'inconnue $t$ en remplaçant dans l'équation de $(AFH)$ les expressions de $x$, $y$ et $z$ données avec la représentation paramétrique de $(EC)$.
    Un point $M(x;y;z)$ appartient à $\Delta$ si ses coordonnées vérifient $x+y+z-3=0$ (équation de $P$) et $x-z-1=0$ (équation de $P'$).
    $x-z-1=0 \Longleftrightarrow x=z+1$
    En remplaçant $x=z+1$ dans l'équation de $P$, on a:
    $z+1+y+z-3=0 \Longleftrightarrow y+2z-2=0 \Longleftrightarrow y=-2z+2$
    En prenant $z=t$, on a alors $\begin{cases} x=t+1\\ y=-2t+2\\ z=t \end{cases}$
  5. Montrer que $\Delta$ est orthogonale au plan $(ABC)$ et passe par $A$.

    droite et plan orthogonaux


    Une droite $(d)$ est orthogonale à un plan si et seulement si un vecteur directeur de $(d)$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs de du plan.
    Il faut vérifier que de $\Delta$ est orthogonale à deux droites sécantes de $(ABC)$ donc qu'un vecteur directeur de $\Delta$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$
    $\begin{cases} x=t+1\\ y=-2t+2\\ z=t \end{cases}$ avec $t\in \mathbb{R}$ est une représentation paramétrique de $\Delta$ donc $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 1 \end{pmatrix}$ (coefficients de $t$) est un vecteur directeur de $\Delta$
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{AB}=1\times 3-2\times 3+1\times 3=3-6+3=0$
    et $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{AC}=1\times 3-2\times 0+1\times (-3)=3-3=0$
    donc $\overrightarrow{u}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$
    donc $\Delta$ est orthogonale à deux droites sécantes $(AB)$ et $(AC)$ de $(ABC)$
    De plus $A\in P$, $A\in P'$ donc $A\in \Delta$
  6. Déterminer les coordonnées du point $D$ de $\Delta$ d'abscisse 0.
    D\in \delta$ dont on connaît la rprésentation paramétrique et on peut donc déterminer $t$ en utilisant $x_D$
    $\begin{cases} x=t+1\\ y=-2t+2\\ z=t \end{cases}$ avec $t\in \mathbb{R}$ est une représentation paramétrique de $\Delta$ et $D(0;y_D;z_D)$
    donc on a $x_D=t+1$ soit $0=t+1$ donc $t=-1$.
    $y_D=-2t+2=-2\times (-1)+2=4$ et $z_D=t=-1$
  7. En déduire le volume du tétraèdre $ABCD$

    Distance dans l'espace


    Si le repère de l'espace est orthonormé, la distance $AB$ est: $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$
    Le volume d'un tétraèdre est donné par $V=\dfrac{\text{Aire de la bas}\times \text{hauteur}}{3}$
    $(AD)$ orthogonale au plan $(ABC)$ donc est la hauteur du tétraèdre $ABCD$ de base $ABC$
    $\Delta$ est orthogonale au plan $(ABC)$ et $D\in \Delta$
    donc $(AD)$est orthogonale au plan $(ABC)$ et est la hauteur issue de $D$ dans le tétraèdre $ABCD$
    $ABCD$ est un triangle rectangle en $A$ donc l'aire de $ABC$ est $\mathcal{A}=\dfrac{AB\times AC}{2}$
    $AB=\sqrt{x_{\overrightarrow{AB}}^2+y_{\overrightarrow{AB}}^2+z_{\overrightarrow{AB}}^2}=\sqrt{3^2+3^2+3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
    $AC=\sqrt{x_{\overrightarrow{AC}}^2+y_{\overrightarrow{AC}}^2+z_{\overrightarrow{AC}}^2}=\sqrt{3^2+0^2+(-3)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
    $\mathcal{A}=\dfrac{3\sqrt{3}\times 3\sqrt{2}}{2}=\dfrac{9\sqrt{6}}{2}$
    $AD=\sqrt{(x_D-x_A)^2+(y_D-y_A)^2+(z_D-z_A)^2}$
    $=\sqrt{(0-3)^2+(4-(-2))^2+(-1-2)^2}$
    $=\sqrt{54}$
    $=3\sqrt{6}$
    $\mathcal{V}=\dfrac{\dfrac{9\sqrt{6}}{2}\times 3\sqrt{6}}{3}=\dfrac{27\times 6}{3}=54$


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