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On donne les points $A$, $B$ et $C$ d'affixe respective $z_A=3+2i$, $z_B=1-2i$ et $z_C=-1+4i$ dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$.
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- Donner la forme algébrique de $Z=\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$.
Suppression des complexes au dénominateur
Pour écrire un nombre complexe sans complexes au dénominateur, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
En effet $(a+ib)(a-ib)=a^2-iab+iba-i^2b^2=a^2+b^2$
soit $z\overline{z}=a^2+b^2$
Exemple:
$z=\dfrac{2+3i}{1-2i}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{1+4}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{5}$il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par $-4-2i$$Z=z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=1-2i-(3+2i)=-2-4i$
$z_{\overrightarrow{AC}}=z_C-z_A=-1+4i-(3+2i)=-4+2i$
$\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\dfrac{-4+2i}{-2-4i}$
$\phantom{\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}}=\dfrac{(-4+2i)(-2+4i)}{(-2-4i)(-2+4i)}$
$\phantom{\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}}=\dfrac{8-16i-4i+8i^2}{(-2)^2+4^2}$
$\phantom{\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}}=\dfrac{-20i}{20}$
$\phantom{\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}}=-i$
- En déduire que $ABC$ est un triangle rectangle en $A$.
Angles et argument d'un quotient
Soient $A$ , $B$ et $C$ quatre points distincts d'affixes respectives $z_A$, $z_B$ et $z_C$.
$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=arg\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)$$Z$ est imaginaire pur et sont argument est $\dfrac{-\pi}{2}$ (car la partie imaginaire est négative)
donc $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=arg(Z)=\dfrac{-\pi}{2}$ ($2\pi$)
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Affixe d'un vecteur
- affixe d'un vecteur
- module
- interprétation géométrique de l'argument d'un quotient
infos: | 15-20mn |
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