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Le plan est muni d'un repère orthonormé d'origine $O$ et on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A=1$ et $z_B=-1$.
On considère l'application $f$ qui à tout point $M$ distinct de $B$ associe le point $M'$ d'affixe $z'=f(z)=\dfrac{z-1}{z+1}$.
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On considère l'application $f$ qui à tout point $M$ distinct de $B$ associe le point $M'$ d'affixe $z'=f(z)=\dfrac{z-1}{z+1}$.
- Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$ c'est à dire tels que $f(z)=z$.
- Montrer que pour tout complexe $z\neq -1$ on a $(z'-1)(z+1)=-2$.
Il faut réduire $z'-1=\dfrac{z-1}{z+1}-1$ au même dénominateurPour tout complexe $z\neq -1$ on a:
$(z'-1)(z+1)=\left(\dfrac{z-1}{z+1}-1\right)(z+1)$
$\phantom{(z'-1)(z+1)}=\left(\dfrac{z-1-(z+1)}{z+1}\right)(z+1)$
$\phantom{(z'-1)(z+1)}=\left(\dfrac{-2}{z+1}\right)(z+1)$
$\phantom{(z'-1)(z+1)}=\dfrac{-2(z+1)}{z+1}$
$\phantom{(z'-1)(z+1)}=-2$
- En déduire une relation entre $|z'-1|$ et $|z+1|$ puis entre $arg(z'-1)$ et $arg(z+1)$.
$|-2|=2$ et $arg(-2)=\pi$ ($2\pi$)$(z'-1)(z+1)=-2$ donc $|(z'-1)(z+1)|=|-2|$
$|(z'-1)(z+1)|=||z'-1||z+1|$
donc $|z'-1||z+1|=2$ soit $|z'-1|=\dfrac{2}{|z+1|}$ (rappel: $z\neq -1$ donc $|z+1|\neq 0$)
$-2=2cos(\pi)$ donc $arg(-2)=\pi$ ($2\pi$)
et $arg((z'-1)(z+1))=arg(z'-1)+arg(z'+1)$
donc $arg(z'-1)=\pi-arg(z+1)$ ($2\pi$)
- Que peut-on en déduire pour les droites $(AM')$ et $(BM)$?
Suppression des complexes au dénominateur
Pour écrire un nombre complexe sans complexes au dénominateur, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
En effet $(a+ib)(a-ib)=a^2-iab+iba-i^2b^2=a^2+b^2$
soit $z\overline{z}=a^2+b^2$
Exemple:
$z=\dfrac{2+3i}{1-2i}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{1+4}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{5}$L'affixe du vecteur $\overrightarrow{AM'}$ est $z'-z_A=z'-1$ et l'affixe du vecteur $\overrightarrow{BM}$ est $z-z_B=z+1$.$arg(z'-1)=\pi-arg(z+1)$ ($2\pi$) et $z'-1$ est l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AM'}$ et $z+1$ est l'affixe du vecteur $\overrightarrow{BM}$
donc $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{AM'})=arg(z'-1)$ ($2\pi$) et $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{BM})=arg(z+1)$ ($2\pi$)
$(\overrightarrow{i};\overrightarrow{AM'})=\pi-(\overrightarrow{i};\overrightarrow{BM})$ ($2\pi$)
- Montrer que si $M$ appartient au cercle de centre $B$ est rayon 2 alors $M'$ appartient au cercle de centre $A$ et rayon 1.
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