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- On donne la matrice $A=\begin{pmatrix}
2&3&4\\
0&2&3\\
1&2&3
\end{pmatrix}$.
Déterminer $A^{-1}$ avec la calculatrice.Inverse d'une matrice carrée d'ordre $n$
Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$, $A$ est un inversible s'il existe une matrice carrée d'ordre $n$ notée $A^{-1}$ telle que $A\times A^{-1}=I_n$Avec la calculatrice, saisir les coefficients de la matrice $A$ d'ordre $3$ puis calculer $A^{-1}$ (avec CASIO OPTN puis MAT puis MAT $A$ $^{-1}$)
- $X=\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}
2\\
3\\
5
\end{pmatrix}$
Ecrire le système d'équations d'inconnues $x$, $y$ et $z$ correspondant à l'écriture matricielle $AX=B$.Système d'équations et matrices
Un système à $n$ équations et à $n$ inconnues de la forme $\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+...+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+...+a_{2n}x_n=b_2\\ ...\\ ...\\ ...\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+a_{n3}x_3+...+a_{nn}x_n=b_n \end{cases} $ peut sécrire sous la forme $AX=B$ avec
$A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&...&a_{2n}\\ ...\\ ...\\ ...\\ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}x_3&...&a_{nn} \end{pmatrix}$
$X=\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\...\\...\\x_n \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\...\\...\\b_n \end{pmatrix}$
Si $A$ est inversible on a alors $AX=B\Longleftrightarrow A^{-1}AX=A^{-1}B\Longleftrightarrow X=A^{-1}B$La matrice $A$ correspond aux coefficients des équations et $b$ au coefficients du second membre de chaque équation.$AX=\begin{pmatrix} 2&3&4\\ 0&2&3\\ 1&2&3 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2x+3y+4z\\ 0x+2y+3z\\ 1x+2y+3z \end{pmatrix}$
donc le système d'équations correspondant à l'écriture matricielle $AX=B$ est:
$\begin{cases} 2x+3y+4z=2\\ 0x+2y+3z=3\\ 1x+2y+3z=5 \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} 2x+3y+4z=2\\ \phantom{0x+}2y+3z=3\\ x+2y+3z=5 \end{cases}$ - Résoudre alors ce système d'équations avec les matrices.
Calculer $A^{-1}\times B$$AX=B \Longleftrightarrow A^{-1}AX=A^{-1}B \Longleftrightarrow X=A^{-1}B$
$X=\begin{pmatrix} 0&-1&1\\ 3&2&-6\\ -2&-1&4 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 5 \end{pmatrix}$
$\phantom{X}=\begin{pmatrix} 0\times 2+(-1)\times 3+1\times 5\\ 3\times 2+2\times 3-6\times 5\\ -2\times 2-1\times 3+4\times 5 \end{pmatrix}$
$\phantom{X}=\begin{pmatrix} 2\\ -18\\ 13 \end{pmatrix}$
On peut résoudre ce système avec le MENU EQUA de la calculatrice en saisissant les coefficients de $x$, $y$ et $z$ et de la matrice $B$.
MENU EQUA puis Système (ou simultané) et 3 inconnues.
Contrôle de la solution en remplaçant $x$, $y$ et $z$ par leurs valeurs dans chaque équation:
$2\times 2+3\times (-18)+4\times 13=4-54+52=2$
$0\times 2+2\times (-18)+3\times 13=-36+39=3$
$1\times 2+2\times (-18)+3\times 13=2-36+39=5$
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