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L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

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Il est indispensable de maîtriser parfaitement les notions de base et leur application directe pour pourvoir ensuite les utiliser dans la résolution de problèmes plus complexes.

Plus d'infos
  1. spécialité maths terminale
  2. chapitre 10 Maths expertes complexes
  3. exercice corrigé nº1517

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On définit la suite de nombres complexes $(z_n)$ par $z_0=0$ et pour tout $n\in \mathbb{N}$, $z_{n+1}=iz_n-4$.
PARTIE A
  1. Déterminer la forme algébrique de $z_1$, $z_2$ et $z_3$

    Solution

    $z_1=iz_0-4=i\times 0-4=-4$
    $z_2=iz_1-4=i\times (-4)-4=-4-4i$
    $z_3=iz_2-4=i\times (-4-4i)-4=-4i-4i^2-4=-4i+4-4=-4i$
  2. On pose $z_n=a_n+ib_n$ où $a_n$ est la partie réelle de $z_n$ et $b_n$ est la partie imaginaire de $z_n$.
    Exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.

    Aide

    Exprimer $z_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$ et identifier partie réelle et imaginaire

    Solution

    $z_{n+1}=iz_n-4$
    On a $z_n=a_n+inb_n$ donc:
    $a_{n+1}+ib_{n+1}=i(a_n+ib_n)-4$
    $\phantom{a_{n+1}+ib_{n+1}}=ia_n+i^2b_n-4$
    $\phantom{a_{n+1}+ib_{n+1}}=ia_n-b_n-4$
    $\phantom{a_{n+1}+ib_{n+1}}=-b_n-4+ia_n$
    On a donc $a_{n+1}+ib_{n+1}=-b_n-4+ia_n$
  3. Compléter le programme ci-dessous afin de renvoyer la partie réelle et imaginaire de $z_n$.

    Aide

    il faut utiliser la mémoire tampon $c$ pour stocker la variable $a$.

    Solution

    A chaque passage dans la boucle, il faut calculer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$.
PARTIE B
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n=z_n+2+2i$.
  1. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ on a $u_{n+1}=iu_n$ et endéduire la nature de la suite $(u_n)$.

    Rappel de cours

    Suite géométrique

    Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
    $q$ est la raison de la suite.
    Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$

    Aide

    On a $u_{n+1}=z_{n+1}+2+2i$ et $z_{n+1}=iz_n-4$

    Solution

    On a $u_{n+1}=z_{n+1}+2+2i$ et $z_{n+1}=iz_n-4$
    $u_{n+1}=z_{n+1}+2+2i$
    $~~~~~~~=iz_n-4+2+2i$
    $~~~~~~~=iz_n-2+2i$
    $~~~~~~~=i(z_n-\dfrac{2}{i}+2)$ (On factorise $i$ pour obtenir $iu_n$)
    $~~~~~~~=i(z_n-\dfrac{2i}{i^2}+2)$
    $~~~~~~~=i(z_n+2i+2)$
    $~~~~~~~=i(z_n+2+2i)$
    $~~~~~~~=iu_n$
  2. En déduire l'expression de $z_n$ en fonction de $n$.

    Rappel de cours

    Forme explicite d'une suite géométrique

    Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
    $u_n=u_0\times q^n$
    et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$

    Aide

    On a $u_n=u_0q^n$ et $z_n=u_n+4$$

    Solution

    $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=i$ et premier terme $u_0=2+2i$
    donc $u_n=u_0q^n=(2+2i)\times i^n$
    On a $u_n=z_n+2+2i$ donc $z_n=u_n-2-2i=(2+2i)\times i^n-2-2i$
  3. Calculer $z_{50}$ et $z_{100}$ en utilisant $i^2$

    Aide

    On a $i^{50}=(i^2)^{25}$ et $i^2=-1$

    Solution

    $z_{50}=(2+2i)\times i^{50}-2-2i$
    $i^{50}=(i^2)^{25}=(-1)^{25}=-1$ (puissance impaire)

    $z_{100}=(2+2i)\times i^{100}-2-2i$
    $i^{100}=(i^2)^{50}=(-1)^{50}=1$ (puissance paire)


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