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On considère les matrices $A=\begin{pmatrix} 0,2&0,1\\0,2&0,3 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 0,2\\0,1 \end{pmatrix}$
On définit la suite de matrices colonnes $(U_n)$ par $U_{n+1}=AU_n+B$ pour $n\in \mathbb {N}$ et son premier terme $U_0=\begin{pmatrix} 0,1\\0,2 \end{pmatrix}$
  1. Déterminer la matrice colonne $C$ telle que $C=AC+B$.

    Matrices égales


    Deux matrice $M$ et $N$ de dimensions $n$ et $p$ sont égales si leurs coefficients sont égaux.
    Poser $C=\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}$ et calculer d'abord $AC+B$ en fonction de $c_1$ et $c_2$
    On pose $C=\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}$
    $AC+B=\begin{pmatrix} 0,2&0,1\\0,2&0,3 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0,2\\0,1 \end{pmatrix}$
    $~~~~~~~~=\begin{pmatrix} 0,2c_1+0,1c_2\\0,2c_1+0,3c_2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0,2\\0,1 \end{pmatrix}$
    $~~~~~~~~=\begin{pmatrix} 0,2c_1+0,1c_2+0,2\\0,2c_1+0,3c_2+0,1 \end{pmatrix}$
    $C=AC+B\Longleftrightarrow \begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,2c_1+0,1c_2+0,2\\0,2c_1+0,3c_2+0,1 \end{pmatrix}$
    $\phantom{C=AC+B} \Longleftrightarrow \begin{cases}0,2c_1+0,1c_2+0,2=c_1\\0,2c_1+0,3c_2+0,1=c_2 \end{cases}$
    $\phantom{C=AC+B} \Longleftrightarrow \begin{cases}-0,8c_1+0,1c_2=-0,2\\0,2c_1-0,7c_2=-0,1 \end{cases}$
    $\phantom{C=AC+B} \Longleftrightarrow \begin{cases}0,1c_2-2,8c_2=-0,2-0,4~~~~~L_1+4L_2\\-5,6c_1+0,2c_1=-1,4-0,1~~~~~7L_1+L_2 \end{cases}$
    $\phantom{C=AC+B} \Longleftrightarrow \begin{cases}-2,7c_2=-0,6\\ -5,4c_1=-1,5 \end{cases}$
    $\phantom{C=AC+B} \Longleftrightarrow \begin{cases} c_2=\dfrac{-6}{-27}\\ c_1=\dfrac{-15}{-54} \end{cases}$
    $\phantom{C=AC+B} \Longleftrightarrow \begin{cases} c_2=\dfrac{2}{9}\\ c_1=\dfrac{5}{18} \end{cases}$
  2. On pose $V_n=U_n-C$
    1. Montrer que $V_{n+1}=AV_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$
      On peut utliser U_{n+1}=AU_n+B$ donc $V_{n+1}=U_{n+1}-C=AU_n+B-C$...
      On a $U_{n+1}=AU_n+B$ et $C=AC+B$
      $V_{n+1}=U_{n+1}-C$
      $~~~~~~=AU_n+B-C$
      $~~~~~~=AU_n+B-(AC+B)$ puisque $C=AC+B$
      $~~~~~~=AU_n+B-AC-B$
      $~~~~~~=AU_n-AC$
      $~~~~~~=A(U_n-C)$
      $~~~~~~=AV_n$
    2. Démontrer par récurrence que $V_n=A^nV_0$ pour tout entier $n$

      Raisonnement par récurrence


      On considère une propriété notée $P_n$ avec $n \in \mathbb{N}$.
      • $P_0$ vraie
      • Si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie.
      • On a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.
      $V_0=U_0-C=\begin{pmatrix} 0,1-\dfrac{5}{18}\\ 0,2-\dfrac{2}{9} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\dfrac{3,2}{18}\\ -\dfrac{0,2}{9} \end{pmatrix}$
      On note $P_n$ la propriété $V_n=A^nV_0$.
      Initialisation (propriété $P_0$)
      $V_0=A^0V_0=I_2V_0=V_0$
      Hérédité
      On suppose qu'il existe un entier $k$ tel que $V_k=A^kV_0$ et on veut montrer que $V_{k+1}=A^{k+1}V_0$
      $V_{k+1}=AV_k=A\times A^kV_0=A^{k+1}V_0$


      On peut assimiler ceci à une suite géométrique de premier terme $V_0$ et de raison $A$ et alors $V_n=A^nV_0$ (par analogie avec la relation $U_n=U_0\times q^n$)
    3. Montrer par récurrence que $A^n=\begin{pmatrix} \dfrac{0,4^n}{3}+2\dfrac{0,1^n}{3}&\dfrac{0,4^n}{3}-\dfrac{0,1^n}{3}\\ 2\dfrac{0,4^n}{3}-2\dfrac{0,1^n}{3}&2\dfrac{0,4^n}{3}+\dfrac{0,1^n}{3}\\ \end{pmatrix}$ et en déduire $U_n$ en fonction de $n$
      Initialisation
      $\begin{pmatrix} \dfrac{0,4^0}{3}+2\dfrac{0,1^0}{3}&\dfrac{0,4^0}{3}-\dfrac{0,1^0}{3}\\ 2\dfrac{0,4^0}{3}-2\dfrac{0,1^0}{3}&2\dfrac{0,4^0}{3}+\dfrac{0,1^0}{3}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1\\ \end{pmatrix}=A^0$
      Hérédité
      On suppose qu'il existe un entier $k$ tel que $A^k=\begin{pmatrix} \dfrac{0,4^k}{3}+2\dfrac{0,1^k}{3}&\dfrac{0,4^k}{3}-\dfrac{0,1^k}{3}\\ 2\dfrac{0,4^k}{3}-2\dfrac{0,1^k}{3}&2\dfrac{0,4^k}{3}+\dfrac{0,1^k}{3}\\ \end{pmatrix}$
      $A^{k+1}=A\times A^k$
      $~~~~~~=\begin{pmatrix} 0,2&0,1\\0,2&0,3 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} \dfrac{0,4^k}{3}+2\dfrac{0,1^k}{3}&\dfrac{0,4^k}{3}-\dfrac{0,1^k}{3}\\ 2\dfrac{0,4^k}{3}-2\dfrac{0,1^k}{3}&2\dfrac{0,4^k}{3}+\dfrac{0,1^k}{3}\\ \end{pmatrix}$
      $~~~~~~=\begin{pmatrix} 0,2\left(\dfrac{0,4^k}{3}+2\dfrac{0,1^k}{3}\right)+0,1\left(2\dfrac{0,4^k}{3}-2\dfrac{0,1^k}{3}\right)&0,2\left(\dfrac{0,4^k}{3}-\dfrac{0,1^k}{3}\right)+0,1\left(2\dfrac{0,4^k}{3}+\dfrac{0,1^k}{3}\right)\\ 0,2\left(\dfrac{0,4^k}{3}+2\dfrac{0,1^k}{3}\right)+0,3\left(2\dfrac{0,4^k}{3}-2\dfrac{0,1^k}{3}\right)&0,2\left(2\dfrac{0,4^k}{3}-2\dfrac{0,1^k}{3}\right)+0,3\left(2\dfrac{0,4^k}{3}+\dfrac{0,1^k}{3}\right) \end{pmatrix}$
      $~~~~~~=\begin{pmatrix} \dfrac{0,2\times 0,4^k}{3}+\dfrac{0,4\times 0,1^k}{3}+\dfrac{0,2\times 0,4^k}{3}-\dfrac{0,2\times 0,1^k}{3}&\dfrac{0,2\times 0,4^k}{3}-\dfrac{0,2\times 0,1^k}{3}+\dfrac{0,2\times 0,4^k}{3}+\dfrac{0,1\times 0,1^k}{3}\\ \dfrac{0,2\times 0,4^k}{3}+\dfrac{0,4\times 0,1^k}{3}+\dfrac{0,6\times 0,4^k}{3}-\dfrac{0,6\times 0,1^k}{3}&\dfrac{0,2\times 0,4^k}{3}-\dfrac{0,4\times 0,1^k}{3}+\dfrac{0,6\times 0,4^k}{3}+\dfrac{0,3\times 0,1^k}{3} \end{pmatrix}$
      $~~~~~~=\begin{pmatrix} \dfrac{0,4\times 0,4^k}{3}+\dfrac{0,2\times 0,1^k}{3}&\dfrac{0,4\times 0,4^k}{3}-\dfrac{0,1\times 0,1^k}{3}\\ \dfrac{0,8\times 0,4^k}{3}-\dfrac{0,2 \times 0,1^k}{3}&\dfrac{0,8\times 0,4^k}{3}-\dfrac{0,1\times 0,1^k}{3} \end{pmatrix}$
      $~~~~~~=\begin{pmatrix} \dfrac{ 0,4^{k+1}}{3}+2\dfrac{0,1^{k+1}}{3}&\dfrac{ 0,4^{k+1}}{3}-\dfrac{ 0,1^{k+1}}{3}\\ 2\dfrac{0,4^{+1}k}{3}-2\dfrac{ 0,1^{k+1}}{3}&2\dfrac{ 0,4^{k+1}}{3}-\dfrac{0,1^{k+1}}{3} \end{pmatrix}$

      $V_n=U_n-C$ donc $U_n=V_n+C=A^nV_0+C$

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