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- Déterminer le module et l'argument de $z=4-4i\sqrt{3}$.
Donner ensuite la forme trigonométrique puis exponentielle de $z$Module d'un complexe
Soit $M$ d'affixe $z$.
Le module de $z=x+iy$ ($x$ et $y$ réels) noté $|z|$ est $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.Argument d'un complexe
Soit $M$ d'affixe $z$.
Si $z\neq 0$ l'argument de $z$ noté $arg(z)$ est une mesure en radians de l'angle $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM})$}$|z|=\sqrt{(4)^2+(-4\sqrt{3})^2}=\sqrt{16+48}=\sqrt{64}=8$
$\begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}\\ sin(\theta)=\dfrac{-4\sqrt{3}}{8}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{cases}$
donc $arg(z)=\theta=\dfrac{-\pi}{3}$ $(2\pi)$
- En déduire le module et un argument de $\dfrac{1}{z}$.
$z=8e^{i\dfrac{-\pi}{3}}$ donc $\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{8e^{i\dfrac{-\pi}{3}}}=\dfrac{1}{8}e^{i\dfrac{\pi}{3}}$
- Donner la forme algébrique de $z^{1000}$
Il faut déterminer la mesure principale de $\dfrac{1-000\pi}{3}$$z^{1000}=\left(8e^{i\dfrac{-\pi}{3}}\right)^{1000}=8^{1000}e^{\dfrac{-1000\pi}{3}}$
$-1000\div 3\approx -333,3$ et l'entier pair le plus proche est donc $-334$, ce qui correspond à $k=-334\div 2=-167$ tours
$\dfrac{-1000\pi}{3}-k2pi=\dfrac{-1000\pi}{3}+334\pi=\dfrac{-1000\pi}{3}+\dfrac{1002\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$
La mesure principale de l'argument de $z^{1000}$ est donc $\dfrac{2\pi}{3}$
$z^{1000}=8^{1000}\left(cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+isin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)=8^{1000}\left(\dfrac{-1}{2}+i\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{-8^{1000}}{2}-i\dfrac{8^{1000}\sqrt{3}}{2}$
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