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  1. Montrer que $2^5\equiv -1$ $(11)$

    Congruence de a-b


    $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs.
    $a\equiv b$ $(n)\Longleftrightarrow a-b\equiv 0$ $(n)$
    donc $a\equiv b$ $(n)$ si et seulement si $a-b$est divisible par $n$
    $2^5=32$ et donc $2^5-(-1)=33=3\times 11$
    donc $2^{5}-(-1)\equiv 0$ $(11)$
  2. Quel est alors le reste dans la division euclidienne de $(-2)^{19}$ par $11$?

    Propriété de la relation de congruence


    Pour tous entiers $a$, $b$ et $c$ on a:
    - $a\equiv a$ $(n)$
    - Si $a\equiv b$ $(n)$ alors $b\equiv a$ $(n)$
    - Si $a\equiv b$ $(n)$ et $b\equiv c$ $(n)$ alors $a\equiv c$ $(n)$

    Addition, multiplication et exposant


    $n$ est un entier naturel superieur ou égal à 2 et $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre entiers relatifs tels que $a\equiv b$ $(n)$ et $c\equiv d$ $(n)$
    - addition: $a+c\equiv c+d$ $(n)$
    - multiplication $ac\equiv bd$ $(n)$
    - exposant: $a^k \equiv b^k$ $(n)$
    $19=3\times 5+4$
    donc $(-2)^{19}=-\left(2^5\right)^3\times 2^4$
    $2^5\equiv -1$ $(11)$
    donc $(2^5)^3\equiv (-1)^3$ $(11)$ soit $(2^5)^3\equiv -1$ $(11)$
    $2^4=16=1\times 11+5$ donc $2^4\equiv 5$ $(11)$
    Par produit on a donc $2^{15}\times 2^4\equiv -1\times 5$ $(11)$
    soit $2^{19}\equiv -5$ $(11)$
    et $-1\equiv -1$ $(11)$
    donc $(-2)^{19}\equiv 5$ $(11)$
  3. Montrer que $13^2\equiv 4$ $(11)$.
    Quel est alors le reste dans la division euclidienne de $13^{12}$ par $11$?

    Propriété de la relation de congruence


    Pour tous entiers $a$, $b$ et $c$ on a:
    - $a\equiv a$ $(n)$
    - Si $a\equiv b$ $(n)$ alors $b\equiv a$ $(n)$
    - Si $a\equiv b$ $(n)$ et $b\equiv c$ $(n)$ alors $a\equiv c$ $(n)$

    Addition, multiplication et exposant


    $n$ est un entier naturel superieur ou égal à 2 et $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre entiers relatifs tels que $a\equiv b$ $(n)$ et $c\equiv d$ $(n)$
    - addition: $a+c\equiv c+d$ $(n)$
    - multiplication $ac\equiv bd$ $(n)$
    - exposant: $a^k \equiv b^k$ $(n)$
    $13=1\times 11+2$ donc $13\equiv 2$ $(11)$
    et $13^{12}=13{10}\times 13^2=(13^5)^2\times 13^2$
    $13^2=169=11\times 15+4$ donc $169\equiv 4$ $(11)$
    $13=1\times 11+2$ donc $13\equiv 2$ $(11)$
    donc $13^{5}\equiv 2^{5}$ $(11)$ et $2^5\equiv -1$ $(11)$
    donc $13^5\equiv -1$ $(11)$
    et $13^{12}=13^{10}\times 13^2=(13^5)^2\times 13^2$
    $13^5\equiv -1$ $(11)$ donc $(13^5)^2\equiv (-1)^2$ $(11)$ soit $13^{10}\equiv 1$ $(11)$
    En utilisant le produit on a donc $13^{10}\times 13^2\equiv 1\times 4$ $(11)$
    donc $13^{12}\equiv 4 $ $(11)$

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