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  1. Compléter le tableau ci-dessous des restes dans la congruence modulo $4$:
    Si $x\equiv 0$ $(4)$ on a $x^2\equiv 0^2$ $(4)$ puisque $x^2-0$ divisible par $4$
    Si $x\equiv 1$ $(4)$ on a $x^2\equiv 1^2$ $(4)$ soit $x^2\equiv 1$ $(4)$
    Si $x\equiv 2$ $(4)$ on a $x^2\equiv 2^2$ $(4)$ soit $x^2\equiv 4$ $(4)$ et on a $4\equiv 0$ $(4)$
    Si $x\equiv 3$ $(4)$ on a $x^2\equiv 3^2$ $(4)$ soit $x^2\equiv 9$ $(4)$ et $9\equiv 1$ $(4)$ puisque $9-1=8$ est divisible par $4$
    donc $x^2\equiv 1$ $(4)$

  2. Prouver que l'equation $7x^2-4y^2=1$ n'a pas de solution dans $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$.
    D'après le tableau on a deux possibilités, $x^2\equiv 0$ $(4)$ ou $x^2\equiv 1$ $(4)$
    et $y^2\equiv 0$ $(4)$ ou $y^2\equiv 1$ $(4)$
    $7\equiv 3$ $(4)$ puisque $7-3=4$ est divisible par $4$ (ou bien $7=4\times 1+3$)
    $x^2\equiv 0$ $(4)$ ou $x^2\equiv 1$ $(4)$ et $7\equiv 3$ $(4)$
    donc par produit $7x^2$ est congru à $0\times 3=0$ ou $1\times 3=3$ modulo $4$
    $-4\equiv 0$ $(4)$ et $y^2\equiv y^2$ $(4)$
    donc par produit $-4y^2\equiv 0$ $(4)$
    $7x^2$ est congru à $0\times 3=0$ ou $1\times 3=3$ modulo $4$
    et $-4y^2\equiv 0$ $(4)$
    donc par somme $7x^2-4y^2$ est congru soit à $0$ ou $3$ modulo $4$
    donc $7x^2-4y^2=4k$ ou $7x^2-4y^2=4k+3$ avec $k\in \mathbb{Z}$
    donc $7x^2-4y^2\neq 1$
  3. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation $(x+3)^2\equiv 1$ $(4)$
    Il faut utiliser le tableau pour déterminer les congruences de $x+3$ modulo $4$
    Si on pose $X=x+3$ alors d'après le tableau $X^2\equiv 1$ $(4)$ pour $X\equiv 1$ $(4)$ ou $X\equiv 3$ $(4)$
    $x+3\equiv 1$ $(4)$ et $-3\equiv -3$ $(4)$
    donc par somme $x\equiv -2$ $(4)$ et $0\equiv 4$ $(4)$ donc par somme $x\equiv 2$ $(4)$
    donc $x=4k+2$ avec $k\in \mathbb{Z}$
    ou $x+3\equiv 3$ $(4)$ et $-3\equiv -3$ $(4)$
    donc par somme $x\equiv 0$ $(4)$
    soit $x=4k'$ avec $k'\in \mathbb{Z}$ (multiples de $4$)

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