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- Déterminer les entiers naturels $n$ compris entre 1 et $500$ tels que PGCD$(n,258)=43$
Nombres premiers entre eux
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs tels que $(a;b)\neq (0;0)$.
$a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si PGCD$(a,b)=1$On peut écrire $n=43k$ et $258=43\times 6$$258=43\times 6$
et $6$ divise $n$ donc il existe un entier naturel $k$ tel que $n=43k$
PGCD$(n,258)$
$=$PGCD$(43k,43\times 6)$
$=43\times $PGCD$(k,6)$
PGCD$(n,258)=43\Longleftrightarrow 43$PGCD$(k,6)=43\Longleftrightarrow $PGCD$(k,6)=1$
donc $k$ et $6$ sont premiers entre eux.
$6=1\times 6=2\times 3$
donc $k$ ne doit pas être divisible par $2$ et pas divisible par $3$
donc $k$ est impair soit $k\equiv 1$ $(2)$ et $k$ n'est pas un multiple de $3$
si $k=1$ on a $n=43$
On ne peut donc pas avoir $k=2$ ou $k=3$ ou $k=4$
Si $k=5$, $n=43\times 5=215$
Si $k=7$, on a $n=43\times 7=301$
On ne peut avoir $k=8$, $k=9$ ou $k=10$
si $k=11$ alors $n=43\times 11=473$
- Déterminer les entiers naturels $n$ compris entre 1 et $100$ tels que PGCD$(n,36)=9$
On peut écrire $n=9k$ et $36=4\times 9$$36=4\times 9$
et $9$ divise $n$ donc il existe un entier naturel $k$ tel que $n=9k$
PGCD$(n,36)$
$=$PGCD$(9k,9\times 4)$
$=9\times $PGCD$(k,4)$
PGCD$(n,36)=9\Longleftrightarrow 9$PGCD$(k,4)=9\Longleftrightarrow $PGCD$(k,4)=1$
donc $k$ et $4$ sont premiers entre eux.
$4=2^2$
donc $k$ ne doit pas être divisible par $2$ et pas divisible par $4$
si $k=1$ on a $n=9$
On ne peut donc pas avoir $k=2$
Si $k=3$, $n=4\times 3=12$
On ne peut donc pas avoir $k=4$
Si $k=5$, on a $n=9\times 5=45$
On ne peut avoir $k=6$
si $k=7$ alors $n=9\times 7=63$
On ne peut avoir $k=8$
si $k=9$ alors $n=9\times 9=81$
On ne peut avoir $k=10$
si $k=11$ alors $n=9\times 11=99$
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