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- Déterminer PGCD$(714,462)$ en utilisant l'algorithme d'Euclide.
identité de BEZOUT
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs non nuls et $D=$PGCD$(a,b)$.
Il existe un couple d'entiers relatifs $(u;v)$ tel que $au+bv=D$$d=$PGCD$(a,b)$ donc il existe deux entiers naturels $a'$ et $b'$ premiers entre eux tels que $a=3n+1a'd$ et $b=5n-1=b'd$$714=462\times 1+252$ donc $d=462$ et $r=252$ $462=252\times 1+210$ donc $d=252$ et $r=210$ $252=210\times 1+42$ donc $d=210$ et $r=42$ $210=42\times 5+0$ donc $d=42$ et $r=0$ Le dernier reste non nul est $r=42$ - En déduire PGCD$(2142,1386)$.
Propriétés du PGCD
$a$ et $b$ sont deux entiers relatifs tels que $(a;b)\neq (0;0)$
PGCD$(a,b)=$PGCD$(b,a)$ (le PGCD est commutatif)
PGCD$(a,b)=$PGCD$(|a|,|b|)$
PGCD$(a,0)=a$
Si $b$ divise $a$ alors PGCD$(a,b)=|b|$
Soit $k\in \mathbb{N}^*$ ($k$ entier naturel non nul) alors PGCD$(ka,kb)=k$PGCD$(a,b)$On peut rmarquer que $3\times 714=2142$ et $3\times 462=1486$$3\times 714=2142$ et $3\times 462=1486$
donc PGCD$(2142,1386)=$PGCD$(3\times 714,3\times 462)=3\times$ PGCD$( 714, 462)=3\times 42=126$ - Après une tempête, les piquets d'une clôture ont été arrachés sauf ceux des extrémités distants de 1176m et un piquet entre ces deux extrémités (voir schéma).
On souhaite conserver le piquet intermédiaire restant et remettre les piquets arrachés avec le plus grand espace possible et pour des raisons pratiques, la distance entre chaque piquet est un nombre entier de mètres.
Quelle distance devra séparer chaque piquet? - Déterminer les couples d'entiers naturels $(a;b)$ avec $a
Propriétés du PGCD
$a$ et $b$ sont deux entiers relatifs tels que $(a;b)\neq (0;0)$
PGCD$(a,b)=$PGCD$(b,a)$ (le PGCD est commutatif)
PGCD$(a,b)=$PGCD$(|a|,|b|)$
PGCD$(a,0)=a$
Si $b$ divise $a$ alors PGCD$(a,b)=|b|$
Soit $k\in \mathbb{N}^*$ ($k$ entier naturel non nul) alors PGCD$(ka,kb)=k$PGCD$(a,b)$On peut écrire $a=11a'$ et $b=11b'$$PGCD(a,b)=11$ donc il existe deux entiers naturels $a'$ et $b'$ premiers entre eux tels que $a=11a'$ et $b=11b'$ en utilisant les notations il existe... $PGCD(a,b)=11$ $\exists (a';b')\in \mathbb{N}^2$ avec PGCD$(a',b')=1$ tels que $a=11a'$ et $b=11b'$
\bigskip $ab=1452 \Longleftrightarrow 11a'\times 11b'=1452 \Longleftrightarrow a'b'=\dfrac{1452}{11^2}=12$
On a $a'< b'$ puisque $a< b$ et $a'$ et PGCD$(a',b')=1$
$12=1\times 12$ donc on a $a'=1$ et $b'=12$ soit $a=11\times 1=11$ et $b=11\times 12=132$
ou $12=2\times 6$ mais $2$ est un diviseur de $6$ donc $2$ et $6$ ne sont pas premiers entre eux.
ou $12=3\times 4$ donc on a $a'=3$ et $b'=4$ soit $a=11\times 3=33$ et $b=11\times 4=44$
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