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- $x$ est un entier tel que $x\equiv 0$ $(5)$ et $x\equiv 0$ $(12)$.
Montrer que $x$ est divisible par $60$corollaire du théorème de Gauss
Si $b$ et $c$ divisent $a$ et PGCD$(b,c)=1$ alors $bc$ divise $a$$x$ est divisible par $5$ et par $12$$x\equiv 0$ $(5)$ donc $x$ est divisible par $5$
et $x\equiv 0$ $(12)$ donc $x$ est divisible par $12$
$12=5\times 2+2$ donc $d=5$ et $r=2$
$5=2\times 2+1$ donc $d=2$ et $r=1$
$2=2\times 1+0$ donc $d=2$et $r=0$
donc PGCD$(12,5)=1$
$x$ est divisible par $5$ et par $12$ et $5$et $12$ sont premiers entre eux
donc d'après le corollaire du théorème de Gauss $5\times 12$ divise $x$
- $x$ est un entier tel que $x\equiv 0$ $(3)$, $x\equiv 0$ $(5)$ et $x\equiv 0$ $(7)$.
Montrer $x$ est divisible par $105$$x$ est divisible par $3$, $5$ et $7$$x\equiv 0$ $(3)$ donc $x$ est divisible par $3$
et $x\equiv 0$ $(5)$ donc $x$ est divisible par $5$
et $x\equiv 0$ $(7)$ donc $x$ est divisible par $7$
PGCD$(3,5)=1$
$x$ est divisible par $3$ et par $5$ et $3$et $5$ sont premiers entre eux
donc d'après le corollaire du théorème de Gauss $3\times 5=15$ divise $x$
PGCD$(15,7)=1$
$x$ divisible par $15$ et $x$ est divisible par $7$ et $15$et $7$ sont premiers entre eux
donc d'après le corollaire du théorème de Gauss $7\times 15=105$ divise $x$
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