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L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

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Il est indispensable de maîtriser parfaitement les notions de base et leur application directe pour pourvoir ensuite les utiliser dans la résolution de problèmes plus complexes.

Plus d'infos
  1. spécialité maths terminale
  2. chapitre 14 PGCD -théorème de BEZOUT et GAUSS
  3. exercice corrigé nº1592

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On veut résoudre $S$: $\begin{cases} x\equiv 1 ~~(11)\\ x\equiv 3~~(4) \end{cases}$ dans $\mathbb{Z}$.
  1. Montrer que résoudre $S$ revient à résoudre $E$: $11u+4v=2$

    Aide

    On a $x=11k+1$ et $x=4k'+3$

    Solution

    $x\equiv 1$ $(11)$ donc il existe un entier relatif $u$ tel que $x=11u+1$
    $x\equiv 3$ $(4)$ donc il existe un entier relatif $v$ tel que $x=4v+3$
    On a donc $11u+1=4v+3\Longleftrightarrow 11u-4v=2$
  2. Résoudre $E$.

    Rappel de cours

    Méthode résolution équation Diophantienne

    - Chercher le PGCD$(a,b)=d$ et vérifier que $d$ divise $c$
    - diviser tous les coefficients de l'équation par $d$
    - On doit alors résoudre $a'x+b'y=c'$ (équation $E'$) avec $a'$ et $b'$ premiers entre eux
    - Déterminer une solution particulière de l'équation $E'$ notée $(x_0;y_0)$
    - On a alors:
    $a'x+b'y=a'x_0+b'y_0\Longleftrightarrow a'(x-x_0)=-b'(y-y_0)$
    avec $a'$ et $b'$ premiers entre eux. donc $a'$ divise $y-y_0$ d'après le théorème de Gauss
    et donc $y=a'k+y_0$ avec $k\in \mathbb{Z}$
    et on remplace $y$ par $a'k+y_0$ dans $E'$

    Aide

    Déterminer une solution particulière

    Solution

    PGCD$(11,-4)=1$ et donc PGCD$(11,-4)$ divise $2$
    donc d'après le corollaire du th. de Bezout l'équation admet au moins une solution.
    $11\times 2-4\times 5=22-20=2$
    donc $(2;5)$ est une solution de $E$.
    $11u-4v=11\times 2 -4\times 5 \Longleftrightarrow 11u-11\times 2=4v-4\times 5$
    $\phantom{11u-4v=11\times 2 -4\times 5} \Longleftrightarrow 11(u-2)=4(v-1)$
    donc $4$ divise $11(u-2)$ et $11$ et $4$ premiers entre eux
    et d'après le th. de Gauss on a $4$ divise $u-2$
    donc il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $u-2=4k$ soit $u=4k+2$
    $11(4k+2)-4v=2\Longleftrightarrow 44k+22-4v=2$
    $\phantom{11u-4v=2}\Longleftrightarrow -4v=-44k-20$
    $\phantom{11u-4v=2}\Longleftrightarrow v=11k+5$

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