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On considère l'équation $z^3=1$ dans $\mathbb{C}$.
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- Montrer que $|z|=1$.
- Montrer que $arg(z)=0$ $\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$
On peut poser $z=e^{i\Theta}$ avec $\theta=arg(z)$ $(2\pi)$$|z|=1$ donc $z=e^{i\Theta}$ avec $\theta=arg(z)$ $(2\pi)$
Il faut donc résoudre$z^3=\left(e^{i\Theta}\right)^3=e^{i3\Theta}=1=e^{i\times 0}$
$e^{i3\Theta}=e^{i\times 0}$
$\Longleftrightarrow 3\Theta=0+k2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$
$\Longleftrightarrow \Theta=0+\dfrac{k2\pi}{3}$ avec $k\in \mathbb{Z}$
- En déduire la forme algébrique des solutions de $z^3=1$.
On notera ces solutions $z_0$, $z_1$...On peut prendre $k=0$, $k=1$...Si $k=0$
$z_0=e^{0i}=1$
Si $k=1$
$z_1=e^{i\dfrac{2\pi}{3}}=cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+isin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{-1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Si $k=2$
$z_2=e^{i\dfrac{4\pi}{3}}=cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)+isin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)=\dfrac{-1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Si $k=4$ alors $arg(z_3)=\dfrac{6\pi}{3}=0$ $~~(2\pi)$ et donc $z_3=z_0$... - Déterminer un argument de $\dfrac{z_1}{z_0}$, $\dfrac{z_2}{z_1}$ puis de $\dfrac{z_3}{z_1}$.
On note$M_0$, $M_1$ et $M_3$ les affixes respectives de $z_0$, $z_1$ et $z_3$ dans un repère orthonormé d'origine $O$.
Quelle est alors la nature du triangle $M_0M_1M_2$?$\dfrac{z_1}{z_0}=\dfrac{e^{i\dfrac{2\pi}{3}}}{e^{0i}}=e^{i\dfrac{2\pi}{3}}$
donc $arg\left( \dfrac{z_1}{z_0} \right)=(\overrightarrow{OM_0};(\overrightarrow{OM_1})=\dfrac{2\pi}{3}$ $(2\pi)$
$\dfrac{z_2}{z_1}=\dfrac{e^{i\dfrac{4\pi}{3}}}{e^{i\dfrac{4\pi}{3}}}=e^{i\dfrac{2\pi}{3}}$
$arg\left( \dfrac{z_2}{z_1} \right)=(\overrightarrow{OM_1};(\overrightarrow{OM_2})=\dfrac{2\pi}{3}$ $(2\pi)$
donc $M_0$, $M_1$ et $M_2$ sont les sommets d'un polygône régulier à 3 côtés (voir figure)
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