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Dans chaque cas donner l'ensemble de définition $D$ de $f$ et l'ensemble $D'$ sur lequel $f$ est dérivable puis calculer $f'(x)$.
  1. $f(x)=(5x+3)^2$

    Dérivée de $f(ax+b)$


    $u$ est une fonction définie et dérivable sur $D$ alors pour tout réel $x$ tel que $ax+b\in D$, $u(ax+b)$ est dérivable
    et $\left(u(ax+b)\right)'=au'(ax+b)$.
    Par exemple si $f(x)=(2x-1)^3$, on a $u(x)=x^3$ et $u'(x)=3x^2$ avec $f(x)=u(2x-1)$
    alors $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=2 u'(2x-1)=2\times 3\times (2x-1)^2=6\times (2x-1)^2$
    On a $u(x)=x^2$
    On pose $u(x)=x^2$ et on a $f(x)=(5x+3)^2=u(5x+3)$
    $u$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ donc $D=D'=\mathbb{R}$.
    $u'(x)=2x$
    donc $f'(x)=5u'(5x+3)=5\times 2\times (5x+3)=10(5x+3)$


    En développant $f(x)$ on a $f(x)=25x^2+2\times 5x\times 3+9=25x^2+30x+9$
    donc $f'(x)=25\times 2x+30\times 1+0=50x+30=10(5x+3)$
  2. $f(x)=\sqrt{3x-9}$

    Dérivées usuelles


    Dérivée de $f(ax+b)$


    $u$ est une fonction définie et dérivable sur $D$ alors pour tout réel $x$ tel que $ax+b\in D$, $u(ax+b)$ est dérivable
    et $\left(u(ax+b)\right)'=au'(ax+b)$.
    Par exemple si $f(x)=(2x-1)^3$, on a $u(x)=x^3$ et $u'(x)=3x^2$ avec $f(x)=u(2x-1)$
    alors $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=2 u'(2x-1)=2\times 3\times (2x-1)^2=6\times (2x-1)^2$
    On a $u(x)=\sqrt{x}$ et il faut que $3x-9$ soit positif
    la fonction racine carrée est définie sur $[0;+\infty[$ et dérivable sur $]0;+\infty[$
    On pose $u(x)=\sqrt{x}$ et on a $f(x)=\sqrt{3x-9}=u(3x-9)$
    Il faut $3x-9\geq 0$ soit $x\geq 3$ donc $D=[3;+\infty[$
    La fonction racine carrée est dérivable sur $]0;+\infty[$
    donc il faut $3x-9>0$ soit $x>3$
    donc $D'=]3;+\infty[$
    $u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
    donc $f'(x)=3u'(3x-9)=3\times \dfrac{1}{2\sqrt{3x-9}}=\dfrac{3}{2\sqrt{3x-9}}$
  3. $f(x)=\dfrac{1}{(2x-8)^2}$

    Dérivées usuelles


    On a $u(x)=\dfrac{1}{x^2}$ et il faut que $3x-9$ soit positif
    la fonction racine carrée est définie sur $[0;+\infty[$ et dérivable sur $]0;+\infty[$
    On pose $u(x)=\dfrac{1}{x^2}$ et on a $f(x)=\dfrac{1}{(2x-8)^2}=u(2x-8)$
    Il faut $2x-8\neq 0$ soit $x\neq 4$ donc $D=D'=\mathbb{R}\setminus \lbrace 4\rbrace$
    $u'(x)=\dfrac{-2}{x^3}$
    donc $f'(x)=2u'(2x-8)=2\times \dfrac{-2}{(2x-8)^3}=\dfrac{-4}{(2x-8)^3}$

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