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Une entreprise possède une chaîne de fabrication capable de fabriquer en une semaine entre 6 000
et 32 000 pièces identiques.
Le coût de fabrication, en euros, de $x$ milliers de pièces, pour $x$ compris entre 6 et 32, est noté $C(x)$, où $C$ est la fonction définie sur $[6;32]$ par : $C(x)=2x^3-108x^2+5~060x-4~640$
Toutes les pièces produites sont vendues au prix de $3,50$ \euro~ l'unité.
On note $B(x)$ le bénéfice réalisé pour la production et la vente de $x$ milliers de pièces.
  1. Montrer que, pour tout $x \in [6;32]$, $B(x)=-2x^3+108x^2-1~560x+4~640$.
    $x$ est exprimé en millires de pièces donc pour $x$ milliers de pièces, on a $1000x$ pièces.
    On vend $x$ milliers de pièces soit $1000x$ pièces au prix de $3,5$ euros l'unité
    donc la recette est $R(x)=3,5\times 1000x=3500x$
    $B(x)=R(x)-C(x)$
    $~~~~~~=3500x-2x^3+108x^2-5~060x+4~640$
    $~~~~~~=-2x^3+108x^2-1~560x+4~640$
  2. Déterminer $B'(x)$, et étudier son signe sur $[6;32]$.

    Signe de $ax^2+bx+c$


    - Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$

    - Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)

    - Cas $\Delta<0$ (aucune racine)

    Dérivées usuelles


    Il faut déterminer d'abord les racines de $B'(x)$ en calculant le discriminant $\Delta$
    $B'(x)=-2\times 3x^2+108\times 2x-1560$
    $~~~~~~~~=-6x^2+216x-1560$
    $~~~~~~~~=6(-x^2+36x-260)$
    $\Delta=b^2-4ac=36^2-4\times (-1)\times (-260)=256$
    $\Delta>0$ donc il y a deux racines
    $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{ -36+ 16 }{ -2 }=10$
    et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-36 -16 }{-2 }=26$
  3. En déduire le tableau de variations de la fonction $B$.

    Signe de la dérivée et variations d'une fonction


    Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
    $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
    $f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$
    Tableau de signe de $B'(x)$ et de variation de $B$

    Avec la calculatrice (MENU TABLE) on a:
    $B(6)=-1264$, $B(10)-2160$, $B(26)=1936$ et $B(32)=-224$
  4. Quel est le bénéfice maximal réalisable par l'entreprise ?
    Donner le nombre de pièces à produire qui réalise ce maximum.
    Utiliser le tableau de variation et donner le nombre de pièces ( $x$ est exprimé en milliers de pièces)
    Le bénéfice maximal est donc de 1936 euros pour $26\times 1000=26000$ pièces vendues.

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