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Dans chaque cas, calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.
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- fig1
Produit scalaire (définition)
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$, le produit scalaire des deux vecteurs est noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$,et est le nombre réel défini par:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid\times \mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid \times cos(\widehat{BAC})=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})$$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=||\overrightarrow{AB} ||\times ||\overrightarrow{AC}||\times cos\left(\widehat{BAC}\right)$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=6\times 6\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
- Fig2
Produit scalaire et projeté orthogonal
Soit $A$, $B$ et $C$ trois points ($A$ et $B$ distincts) et $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.
Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=0$ (soit $\widehat{BAC}$ aigu)
et $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=\pi$ (soit $\widehat{BAC}$ obtus)Le triangle est isocèle en $C$ donc la hauteur est confondue ave la médiane issue de $C$ et la médiatrice de $[AB]$Le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ est $H$ avec $H$ milieu de $[AB]$ car $ABC$ est isocèle en $C$ et l'angle $\widehat{BAC}$ est aigu
- Fig 3
Produit scalaire et projeté orthogonal
Soit $A$, $B$ et $C$ trois points ($A$ et $B$ distincts) et $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.
Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=0$ (soit $\widehat{BAC}$ aigu)
et $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=\pi$ (soit $\widehat{BAC}$ obtus)On peut utiliser le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$Le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ est le point $H$ confondu avec $B$ et $\widehat{BAC}$ est un angle aigu donc le produit scalaire est positif
- Fig 4
Produit scalaire (définition)
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$, le produit scalaire des deux vecteurs est noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$,et est le nombre réel défini par:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid\times \mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid \times cos(\widehat{BAC})=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})$Le triangle est isocèle en $C$ donc la hauteur est confondue ave la médiane issue de $C$ et la médiatrice de $[AB]$Les points $ABC$ sont alignés et les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont de sens contraires donc $\widehat{BAC}=180^\circ$
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=||\overrightarrow{AB} ||\times ||\overrightarrow{AC}||\times cos\left(\widehat{BAC}\right)$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=6\times 2\times cos(\pi)$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=-12$
- $ABC$ est un triangle tel que $AB=6~cm$, $AC=4~cm$ et $BC=7~cm$.
Produit scalaire avec les normes
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$ on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\dfrac{\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid^2+\mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid^2-\mid \mid \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\mid \mid^2}{2}$
Dans le triangle $ABC$: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}$$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=\dfrac{6^2+4^2-7^2}{2}$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=\dfrac{36+16-49}{2}$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=\dfrac{3}{2}$
- $A(2;4)$, $B(-1;3)$ et $C(1;-2)$ dans un repère orthonormé.
include
Coordonnées d'un vecteur
Si $\overrightarrow{u}(x;y)$ dans un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$ alors $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$
Sur la figure ci-dessus $\overrightarrow{u}(4;2)$Produit scalaire dans un repère orthonormé
Dans un repère orthonormé, si $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{v}(x';y')$ on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'$
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=-1-2=-3\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=3-4=-1 \end{cases}$ donc $\overrightarrow{AB}(-3;-1)$
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AC}}=x_C-x_A=1-2=-1\\ y_{\overrightarrow{AC}}=y_C-y_A=-2-4=-6 \end{cases}$ donc $\overrightarrow{AC}(-1;-6)$
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=x_{\overrightarrow{AB}}x_{\overrightarrow{AC}}+y_{\overrightarrow{AB}}y_{\overrightarrow{AB}}$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=-3\times (-1)+(-1)\times (-6)$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=3+6$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=9$
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