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Etudier les variations des suites géométriques ci-dessous.
  1. $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0=-2$ et de raison $q=3$.

    Suite géométrique


    Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
    $q$ est la raison de la suite.
    Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$

    Forme explicite d'une suite géométrique


    Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
    $u_n=u_0\times q^n$
    et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$

    Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)


    Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
    Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
    Étudier le signe de l'expression obtenue
    Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
    Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.
    $u_{n+1}=3u_n$ et $u_n=u_0\times q^n=-2\times 3^n$
    $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0=-2$ et de raison $q=3$.
    donc $u_{n+1}=3u_n$ et $u_n=u_0q^n=-2\times 3^n$
    $u_{n+1}-u_n=3u_n-u_n$
    $\phantom{u_{n+1}-u_n}=2u_n$
    $\phantom{u_{n+1}-u_n}=2\times (-2)\times 3^n$
    $\phantom{u_{n+1}-u_n}=-4\times 3^n$
    $3^n>0$ donc $-4\times 3^n<0$
    donc $u_{n+1}-u_n<0$
  2. $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0=3$ et de raison $q=\dfrac{1}{2}$.
    $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n$ et $u_n=\dfrac{1}{2^n}$
    $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0=3$ et de raison $q=\dfrac{1}{2}$.
    donc $u_n=u_0q^n=3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=3\times \dfrac{1}{2^n}$
    $u_{n+1}=\dfrac{1}{2} u_n$
    $u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{2}u_n-u_n$
    $\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{1}{2}u_n-\dfrac{2}{2}u_n$
    $\phantom{u_{n+1}-u_n}=-\dfrac{1}{2}u_n$
    $\phantom{u_{n+1}-u_n}=-\dfrac{1}{2}\times 3\times \dfrac{1}{2^n}$
    $\phantom{u_{n+1}-u_n}=-3\times \dfrac{1}{2^{n+1}}$
    $\dfrac{1}{2^{n+1}}>0$ donc $-3\times \dfrac{1}{2^{n+1}}<0$
    donc $u_{n+1}-u_n<0$
  3. $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0=-4$ et de raison $q=0,2$.
    $u_{n+1}=0,2u_n$ et $u_n=u_0\times q^n=-4\times 0,2^n$
    $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0=-4$ et de raison $q=0,2$.
    donc $u_{n+1}=0,2u_n$ et $u_n=u_0q^n=-4\times 0,2^n$
    $u_{n+1}-u_n=0,2u_n-u_n$
    $\phantom{u_{n+1}-u_n}=-0,8u_n$
    $\phantom{u_{n+1}-u_n}=-0,8\times (-4)\times 0,2^n$
    $\phantom{u_{n+1}-u_n}=3,2\times 0,2^n$
    $0,2^n>0$ donc $3,2\times 0,2^n>0$
    donc $u_{n+1}-u_n>0$

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Variations d'une suite

- méthodes possibles
- exemples types
- cas des suites arithmétiques et géométriques


infos: | 10-15mn |