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Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $10^n-1$ divisible par 9.
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- Vérifier que pour $n=1$ on a $10^n-$ divisible par 9
- Si $10^n-1$ est divisible par $9$, montrer qu'il existe un entier naturel $k$ tel que $10^{n+1}=90k+10$.
Un nombre entier $N$ est divisible par 9 s'il existe un entier naturel $k$ tel que $N=9k$
On a $10^{n+1}=10^n\times 10$$10^n-1$ est divisible par 9 donc il existe un entier naturel $k$ tel que $10^n-1=9k$.
$10^n-1=9k \Longleftrightarrow 10^n=9k+1$
$\phantom{10^n-1=9k} \Longleftrightarrow 10^n\times 10=(9k+1)\times 10$
$\phantom{10^n-1=9k} \Longleftrightarrow 10^{n+1}=90k+10$
- Montrer alors par récurrence sur $n$ que $10^n-1$ est divisible par 9 pour tout entier naturel $n$ non nul.
include182fcoursVérifier que la propriété est vraie pour $n=1$(question 1)
La propriété à prouver est $P_n$: $10^n-1$ divisible par 9
On pourra utiliser le résultat de la question précédente et factoriser pour obtenir une expression de la forme $9k'$ avec $k'$ entier naturel.Pour tout entier naturel $n\geq 1$, on note la propriété $P_n$: $10^n-1$ divisible par 9.
-Initialisation:
On a vu à la question 1 que la propriété est vraie au rang 1.
-Hérédité:
On suppose qu'il existe un entier naturel non nul tel que $P_n$ vraie.
Il existe donc un entier naturel $k$ tel que $10^{n+1}=90k+10$ (question 2)
donc $10^{n+1}-1=90k+10-1=90k+9=9(10k+1)$
si on pose $k'=10k+1$ alors il existe un entier naturel tel que $10^{n+1}-1=9k'$
donc $10^{n+1}$ est divisible par 9 et $P_{n+1}$ est donc vraie.
- Conclusion
On a donc montré par récurrence que la propriété $P_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$ non nul.
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