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La fonction $f$ est définie sur $[-3;5]$ par $f(x)=x^2-3x-4$ et on note $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
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- Déterminer les coordonnées du point $A$ d'intersection de $C_f$ et de l'axe des ordonnées.
- Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère ci-dessous.
Il faut dresser un tableau de valeurs de la fonction $f$ en utilisant le MENU TABLE de la calculatrice.Avec le MENU TABLE de la calculatrice en saisissant l'expression de $f$ dans Y1 puis en paramétrant dans SET XSTART=$-3$, XEND=5 et STEP=0,5 par exemple pour obtenir un tracé suffisamment précis, on a:
- La fonction $g$ est définie sur $[-3;5]$ par $g(x)=-2x+2$ et on note $C_g$ sa représentation graphique.
Quelle est la nature de la fonction $g$?
Tracer $C_g$ dans le même repère que $C_f$.Rappels: Une fonction affine est une fonction s'écrivant $f(x)=ax+b$ et sa représentation graphique est une droite.
Il suffit de déterminer les coordonnées de deux points pour tracer $C_g$
$C_g$ est un segment (car $g$ définie sur $[-3;5]$).
Si $x=-3$, $y=-2\times (-3)+2=8$
et si $x=5$, $y=-2\times 5+2=-8$
- Montrer que pour tout réel $x$, on a $(x+2)(x-3)=x^2-x-6$ et en déduire par le calcul, les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$.
Il faut passer tous les termes dans le membre de gauche puis utiliser la forme factorisée donnée dans la question.$(x+2)(x-3)=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6$
$f(x)=g(x) \Longleftrightarrow x^2-3x-4=-2x+2$
$\phantom{f(x)=g(x)} \Longleftrightarrow x^2-3x-4+2x-2=0$
$\phantom{f(x)=g(x)} \Longleftrightarrow x^2-x-6=0$
$\phantom{f(x)=g(x)} \Longleftrightarrow (x+2)(x-3)=0$
$\phantom{f(x)=g(x)} \Longleftrightarrow x+2=0$ ou $x-3=0$
$\phantom{f(x)=g(x)} \Longleftrightarrow x=-2$ ou $x=3$
- Retrouver graphiquement les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ puis contrôler en calculant les images par $f$ puis par $g$.
On cherche les abscisses des points de la courbe $C_f$ et de la courbe $C_g$ ayant une ordonnée égale.Les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_f$ et de $C_g$
\includegraphics[scale=0.8]{fig5
On a donc $f(x)=g(x)$ pour $x=-2$ ou bien pour $x=3$.
On a alors $f(-2)=(-2)^2-3\times (-2)-4=4+6-4=6$ et $g(-2)=-2\times (-2)+2=4+2=6$
De même, $f(3)=3^2-3\times 3-4=9-9-4=-4$ et $g(3)=-2\times 3+2=-6+2=-4$
On a donc bien $f(-2)=g(-2)$ et $f(3)=g(3)$ - Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)\leq g(x)$.
Il faut déterminer les abscisses des points de la courbe $C_f$ ayant une ordonnée inférieure à celle des points de $C_g$Les solutions sont les abscisses des points de la courbe $C_f$ (en pointillés verts sur le graphique) situés en dessous des points de la courbe $C_g$
donc $f(x)\leq g(x)$ pour $x\in [-2;3]$ (zone de l'axe des abscisses en vert)
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