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Dans chaque cas, déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n\geq 1$.
  1. $u_{n}=\dfrac{4n+3}{2n+6}$

    Formes indéterminées


    Formes indéterminées à retenir $+\infty-\infty~~~~~~0\times \infty$
    $\dfrac{0}{0}~~~~\dfrac{\infty}{\infty}$
    Il faut lever l'indétermination en factorisant le numérateur et le dénominateur par $n$
    puis déterminer la limite du numérateur et du dénominateur

    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 4n+3=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 2n+6=+\infty$
    donc la limite du quotient est indéterminée.

    Pour tout entier naturel $n\geq 10$, on a $u_n=\dfrac{n\left(4+\dfrac{3}{n}\right)}{n\left(2+\dfrac{6}{n}\right)}=\dfrac{4+\dfrac{3}{n}}{2+\dfrac{6}{n}}$
    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{3}{n}=0$ donc par somme et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 4+\dfrac{3}{n}=4$
    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{6}{n}=0$ donc par somme et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 2+\dfrac{6}{n}=2$
  2. $u_{n}=\dfrac{2n^2+1}{3n-1}$
    Il faut lever l'indétermination en factorisant le numérateur et le dénominateur par $n$
    Il faut déterminer la limite du numérateur et du dénominateur

    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 2n^2+1=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 3n-1=+\infty$
    donc la limite du quotient est indéterminée avec l'expression sous cette forme.
    Pour tout entier naturel $n>0$, on a $u_n=\dfrac{n\left(2n+\dfrac{1}{n}\right)}{n\left(3-\dfrac{1}{n}\right)}=\dfrac{2n+\dfrac{1}{n}}{3-\dfrac{1}{n}}$
    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 2n=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n}=0$
    donc par somme et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 2n+\dfrac{1}{n}=+\infty$
    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} -\dfrac{1}{n}=0$ donc par somme et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 3-\dfrac{1}{n}=3$
    On a donc $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 2n+\dfrac{1}{n}=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 3-\dfrac{1}{n}=3$


    On peut aussi mettre le terme de plus haut degré en facteur au numérateur et au dénominateur et on a alors:
    $u_n=\dfrac{n^2\left(2+\dfrac{1}{n^2}\right)}{n\left(3-\dfrac{1}{n}\right)}=\dfrac{n\left(2+\dfrac{1}{n^2}\right)}{3-\dfrac{1}{n}}$
    On cherche ensuite la limite du numérateur (produit de $n$ et de $2+\dfrac{1}{n^2}$) et du dénominateur.
  3. $u_{n}=\dfrac{5n+3}{-2n^3+5}$
    Il faut lever l'indétermination en factorisant le numérateur et le dénominateur par $n$
    Il faut déterminer la limite du numérateur et du dénominateur

    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 5n+3=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} -2n^3+5=-\infty$
    donc le quotient a une limite indéterminée.

    Pour tout entier naturel $n>0$, on a $u_n=\dfrac{n\left(5+\dfrac{3}{n}\right)}{n\left(-2n^2+\dfrac{5}{n}\right)}=\dfrac{5+\dfrac{3}{n}}{-2n^2+\dfrac{5}{n}}$
    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{3}{n}=0$ donc par somme et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 5+\dfrac{3}{n}=5$
    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} -2n^2=-\infty$ et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{5}{n}=0$
    donc par somme et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} -2n^2+\dfrac{5}{n}=-\infty$
    On a donc $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 5+\dfrac{3}{n}=5$ et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} -2n^2+\dfrac{5}{n}=-\infty$


    On peut aussi mettre le terme de plus haut degré en facteur au numérateur et au dénominateur et on a alors:
    $u_n=\dfrac{n\left(5+\dfrac{3}{n}\right)}{n^3\left(-2+\dfrac{5}{n^3}\right)}=\dfrac{5+\dfrac{3}{n}}{n^2\left(-2+\dfrac{5}{n^3}\right)}$

    On cherche ensuite la limite du numérateur et du dénominateur (produit de $n^2$ et de $-2+\dfrac{5}{n^3}$) .

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