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  1. On considère l'algorithme suivant :

    Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $a = 4$, $b = 9$ et $N = 2$. Les valeurs successives de $u$ et $v$ seront arrondies au millième.
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline $n$& $a$&$b$ &$u$&$v$\\ \hline 0 &4 &9&&\\ \hline 1&$6,5$&$6,964$&$\dfrac{4+9}{2}=6,5$&$\sqrt{\dfrac{4^2+9^2}{2}}=\sqrt{\dfrac{97}{2}}\approx 6,964$\\ \hline 2&6,732&6,736&$\dfrac{6,5+6,964}{2}\approx 6,732$&$\sqrt{\dfrac{6,5^2+6,964^2}{2}}\approx 6,736$\\ \hline \end{tabular}

  2. Dans la suite, $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0 < a < b$.
    On considère les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par :
    $u_{0} = a$, $v_{0} = b$ et, pour tout entier naturel $n$ :
    $u_{n+1} = \dfrac{u_{n}+ v_{n}}{2}$ et $v_{n+1} = \sqrt{\dfrac{u_{n}^2 + v_{n}^2}{2}}$
    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 0$ et $v_{n} > 0$.

      Raisonnement par récurrence


      On note $P_n$ une propriété définie pour tout entier naturel $n$.
      Initialisation:
      $P_0$ est vraie
      Hérédité:
      Si $P_n$ est vraie alors$P_{n+1}$ est vraie.
      on a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.
      On peut poser $P_n$ la propriété $u_n >0$ et $P'_n$ la propriété $v_n>0$
      Ne pas oublier de vérifier que $P_0$ et $P'_0$ sont vraies
      On veut finalement montrer que $\dfrac{u_{n}+ v_{n}}{2}$ et $v_{n+1} = \sqrt{\dfrac{u_{n}^2 + v_{n}^2}{2}} sont strictements positifs sachant que $u_n$ et $v_n$ sont strictement positifs.
      On note $P_n$ la propriété $u_n >0$ et $P'_n$ la propriété $v_n>0$
      -initialisation On a $b>a>0$ et $u_0=a$ et $v_0=b$
      donc $P_0$ et $P'_0$ sont vraies
      -Hérédité
      On suppose qu'il existe un entier naturel $n$ tel que $P_n$ et $P'n$ soient vraies soit $u_n>0$ et $v_n>0$
      On a alors $u_n+v_n >0$ donc $\dfrac{u_n+v_n}{2}>0$
      donc $u_{n+1} >0$ soit $P_{n+1}$ vraie.
      $\dfrac{u_n^2+v_n^2 }{2}>0$ et $v_{n+1}=\sqrt{\dfrac{u_n^2+v_n^2}{2}}$
      On a $v_{n+1}>0$ soit $P'_{n+1}$ vraie
      On a donc montré par récurrence que $P_n$ et $P'_n$ sont vraies pour tout entier naturel $n$
    2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $v^2_{n+1} - u^2_{n+1} = \left(\dfrac{u_{n} - v_{n}}{2}\right)^2$.
      En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n} \leq v_{n}$.
      en développant (u_n+v_n)^2$
      On a $v^2_{n+1} - u^2_{n+1}=(u_{n+1}+v_{n+1})(u_{n+1}-v_{n+1})$
      $v^2_{n+1} - u^2_{n+1}=\left(\sqrt{\dfrac{u_n^2+v_n^2}{2}}\right)^2-\left(\dfrac{u_n+v_n}{2}\right)^2$
      $\phantom{v^2_{n+1} - u^2_{n+1}}=\dfrac{u_n^2+v_n^2}{2}-\dfrac{(u_n+v_n)^2}{4}$
      $\phantom{v^2_{n+1} - u^2_{n+1}}=\dfrac{u_n^2+v_n^2}{2}-\dfrac{u_n^2+2u_nv_n+v_n^2}{4}$
      $\phantom{v^2_{n+1} - u^2_{n+1}}=\dfrac{2u_n^2+2v_n^2}{4}-\dfrac{u_n^2+2u_nv_n+v_n^2}{4}$
      $\phantom{v^2_{n+1} - u^2_{n+1}}=\dfrac{2u_n^2+2v_n^2-v_n^2-2u_nv_n-v_n^2}{4}$ signe $-$ devant la barre de fraction
      $\phantom{v^2_{n+1} - u^2_{n+1}}=\dfrac{u_n^2-2u_nv_n+v_n^2}{4}$
      $\phantom{v^2_{n+1} - u^2_{n+1}}=\dfrac{(u_n-v_n)^2}{2^2}$
      $\phantom{v^2_{n+1} - u^2_{n+1}}=\left(\dfrac{u_n-v_n}{2}\right)^2$

      $v^2_{n+1} - u^2_{n+1}=(v_{n+1}+v_{n+1})(v_{n+1}-u_{n+1})$
      $v^2_{n+1} - u^2_{n+1}=\left(\dfrac{u_n-v_n}{2}\right)^2$ donc $v^2_{n+1} - u^2_{n+1}\geq 0$
      $u_n>0$ et $v_n>0$ pour tout entier naturel $n$ donc on a $u_{n+1}+v_{n+1}>0$
      donc $v^2_{n+1} - u^2_{n+1}\geq 0 $ et est donc du signe de $v_{n+1}-u_{n+1}$
      donc $v_{n+1}-u_{n+1}\geq 0$ soit $v_{n+1}\geq u_{n+1}$ pour tout entier naturel $n$ et on a aussi $v_0>u_0$
    1. Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.
      On peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ en utilisant $u_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}$ et le résultat précédent.
      $u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n+v_n}{2}-u_n$
      $\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{u_n+v_n-2u_n}{2}$
      $\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{v_n-u_n}{2}$
      Or d'après la question précédente $u_n\leq v_n$ donc $v_n-u_n \geq 0$
    2. Comparer $v^2_{n+1}$ et $v^2_{n}$. En déduire le sens de variation de la suite $\left(v_{n}\right)$.
      Si on compare les carrés $v_{n+1}^2$ et $v_n^2$ on peut comparer aussi $v_{n+1}$ et $v_n$ puisque $v_n>0$ pour tout entier naturel $n$ et la fonction carré est strictement croissante sur $[;+\infty[$
      $v_{n+}^2-v_{n}^2=\sqrt{\dfrac{u_n^2+v_n^2}{2}}^2-v_n^2$
      $\phantom{v_{n+1}^2-v_n^2}=\dfrac{u_n^2+v_n^2}{2}-v_n^2$
      $\phantom{v_{n+1}^2-v_n^2}=\dfrac{u_n^2-v_n^2}{2}$
      Or $0 donc $v_{n+1}^2-v_n^2<0$
      Comme $v_n >0$ pour tout entier $n$, on a donc $v_{n+1}>v_n$
  3. Démontrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes.

    Limite d'une suite majorée ou minorée


    Si la suite $(u_n)$ est croissante et majorée alors elle est convergente.
    Si la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée alors elle est convergente
    Il faut utiliser les variations des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ et trouver un majorant pour la suite $(u_n)$ et un minorant pour la suite $(v_n)$
    On a $(u_n)$ croissante.
    $(v_n)$ est décroissante donc $v_n\leq v_0$ soit $v_n\leq b$
    Pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\leq v_n \leq b$

    La suite $(v_n)$ est décroissante.
    La suite $(u_n)$ est croissante donc pour tout entier naturel $n$, on a $u_n \geq u_0$ et $u_n\geq v_n$
    donc $a \leq u_n \leq v_n$
    donc la suite $(v_n)$ est décroissante et minorée par $a$

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