Publications MATHS-LYCEE.FR

mémo+exercices corrigés+liens vidéos

L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

RÉUSSIR EN MATHS, C'EST POSSIBLE!
Tous les chapitres avec pour chaque notion:
- mémo cours
- exercices corrigés d'application directe
- liens vidéos d'explications.
Il est indispensable de maîtriser parfaitement les notions de base et leur application directe pour pourvoir ensuite les utiliser dans la résolution de problèmes plus complexes.

Plus d'infos

Aide en ligne avec WhatsApp*, un professeur est à vos côtés à tout moment! Essayez!
Un cours particulier à la demande!

Envoyez un message WhatsApp au 07 67 45 85 81 en précisant votre nom d'utilisateur.
*période d'essai ou abonnés premium(aide illimitée, accès aux PDF et suppression de la pub)
PDF reservé aux abonnés
On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x-3}{x^2+7x-8}$.
  1. Dresser le tableau de signes de $x^2+7x-8$.

    Racines


    Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
    c'est à dire telles que $P(x)=0$.
    $\Delta=b^2-4ac$
    Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
    Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
    Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
    Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.

    Signe de $ax^2+bx+c$


    - Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$

    - Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)

    - Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
    il faut déterminer les racines du polynôme
    Il faut déterminer les racines de $x^2+7x-8$
    On peut remarquer que la somme des coefficients est nulle pour éviter de calculer le discriminant
    $1+7-8=0$ donc $x_1=1$ est une racine de $x^2+7x-8$.
    Si on note $x_2$ la seconde racine, on a $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$
    soit $1x_2=\dfrac{-8}{1}$ soit $x_2=-8$
    Signe de $x^2+7x-8$
  2. Déterminer l'ensemble de définition de $f$.
    Il faut que le dénominateur soit différent de $0$
    $f$ est définie si $x^2+7x-8\neq 0$
  3. Déterminer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $-8$ et interpréter graphiquement le résultat.

    Opérations sur les limites


    Limite infinie quand $x \longrightarrow a$


    $f$ est définie sur un intervalle $I$ contenant $a$.
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}f(x)=+\infty$ si pour tout réel $A>0$, il existe un réel $\epsilon>0$ avec $]a-\epsilon;a+\epsilon[\subset I$ tel que $f(x)>A$ pour tout $x\in ]a-\epsilon;a+\epsilon[$.
    La droite d'équation $x=a$ est asymptote à a courbe.
    Il faut chercher les limites du numérateur et du dénominateur
    Distinguer les cas $x > -8$ et $x < -8$ et utiliser le signe de $x^2+7x-8$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -8}x-3=-8-3=-11$
    Limite en $-8^-$ (cas $x < -8 $)
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -8^-}x^2+7x-8=0^+$ (car $x^2+7x-8>0$ pour $x<-8$)


    Limite en $-8^+$ (cas $x >-8 $)
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -8^+}x^2+7x-8=0^-$ (car $x^2+7x-8<0$ pour $-8
    La droite d'équation $x=-8$ est asymptote à la courbe représentative de $f$.
  4. Déterminer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $1$.
    Il faut chercher les limites du numérateur et du dénominateur
    Distinguer les cas $x > 1$ et $x < 1$ et utiliser le signe de $x^2+7x-8$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}x-3=1-3=-2$
    Limite en $1^-$ (cas $x < 1 $)
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}x^2+7x-8=0^-$ (car $x^2+7x-8<0$ pour $-8 < x < 1$)


    Limite en $1^+$ (cas $x >1 $)
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}x^2+7x-8=0^+$ (car $x^2+7x-8>0$ pour $x>1$)

    La droite d'équation $x=1$ est asymptote à la courbe représentative de $f$.

    Penser à contrôler avec le MENU GRAPH de la calculatrice en saisissant l'expression de $f$ dans Y1 et $y=-3$ dans Y2
    Courbe donnée à titre indicatif:

Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)

exercices semblables


Si vous souhaitez vous entraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.