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L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

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La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x $ on a $2x-1 \leq f(x) \leq 2x+1$
  1. Déterminer $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)$ et déterminer $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)$

    Limite par comparaison


    Soit $f$ et $g$ définie sur $I=]a;+\infty[$ telles que $f(x)\leq g(x)$ sur $I$.
    Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$ alors $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=+\infty$
    Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=-\infty$ alors $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=-\infty$
    il faut chercher la limite de $2x-1$ et de $2x+1$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}2x-1=+\infty$
    et pour tout réel $x$ on a $f(x)\geq 2x-1$

    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}2x+1=-\infty$
    et pour tout réel $x$ on a $f(x)\leq 2x+1$
  2. La fonction $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=2x+cos(x)$.
    Montrer que pour tout réel $x$ on a $2x-1 \leq g(x)\leq 2x+1$ et en déduire les limites de $g$ en $+\infty$ et $-\infty$.

    Limite par comparaison


    Soit $f$ et $g$ définie sur $I=]a;+\infty[$ telles que $f(x)\leq g(x)$ sur $I$.
    Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$ alors $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=+\infty$
    Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=-\infty$ alors $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=-\infty$
    Rappel: $-1 \leq cos(x) \leq 1$
    Pour tout réel $x$, on a $-1 \leq cos(x)\leq 1$
    donc $2x-1\leq 2x+cos(x)\leq 2x+1$ (on ajoute $2x$ à chacun des membres de l'inégalité)
    soit $2x-1 \leq g(x)\leq 2x+1$
    En utilisant les résultats de la question 1, on peut en déduire que
  3. Représenter graphiquement la fonction $g$ et les droites d'équations $y=2x-1$ et $y=2x+1$ sur la calculatrice ou avec un logiciel.
    On peut utiliser le MENU TABLE de la calculatrice en saisissant $f(x)$ dans Y1, et les équations des deux droites dans Y2 et Y3.
    On peut utiliser le MENU TABLE de la calculatrice en saisissant $f(x)$ dans Y1, et les équations des deux droites dans Y2 et Y3
    Penser à ajuster les unités du repère (SHIFT F3 (V-Window))
    Avec GEOGEBRA, on obtient:

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