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Calculer la dérivée de $f$ définie et dérivable sur $I$ dans les cas suivants
  1. $f(x)=cos(2x-1)$ sur $I=\mathbb{R}$

    Dérivée de cosinus et sinus


    Les fonctions cosinus et sinus sont définies et dérivables sur $\mathbb{R}$ et on a:
    $(cos(x))'=-sin(x)$
    $(sin(x))'=cos(x)$

    Dérivée d'une fonction composée


    $u$ et $v$ sont définies et dérivables respectivement $I$ et $J$ avec $u(x)\in J$ pour tout $x\in I$. $vou$ est dérivable sur $I$ et $(vou)'=v'ou\times u'$.
    On pose $u(x)=2x-1$ et $v(x)=cos(x)$
    $f$ est la composée de la fonction affine $x\longmapsto 2x-1$ et de la fonction cosinus
    On pose $u(x)=2x-1$ et $v(x)=cos(x)$ et on a $f(x)=vou(x)$
    $u'(x)=2$ et $v'(x)=-sin(x)$
    $f'(x)=v'ou(x)\times u'(x)=-sin(2x-1)\times 2=-2sin(2x-1)$


    La fonction affine $x\longmapsto 2x-1$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et la fonction cosinus est dérivable sur $\mathbb{R}$
    donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
  2. $f(x)=sin(x^2+2)$ sur $I=\mathbb{R}$

    Dérivée de cosinus et sinus


    Les fonctions cosinus et sinus sont définies et dérivables sur $\mathbb{R}$ et on a:
    $(cos(x))'=-sin(x)$
    $(sin(x))'=cos(x)$

    Dérivée d'une fonction composée


    $u$ et $v$ sont définies et dérivables respectivement $I$ et $J$ avec $u(x)\in J$ pour tout $x\in I$. $vou$ est dérivable sur $I$ et $(vou)'=v'ou\times u'$.
    On pose $u(x)=x^2+2$ et $v(x)=sin(x)$
    $f$ est la composée de la fonction affine $x\longmapsto x^2+1$ et de la fonction sinus
    On pose $u(x)=x^2+1$ et $v(x)=sin(x)$ et on a $f(x)=vou(x)$
    $u'(x)=2x$ et $v'(x)cos(x)$
    $f'(x)=v'ou(x)\times u'(x)=cos(x^2+1)\times 2x=2xsin(x^2+1)$
  3. $f(x)=3cos(e^x+2)$ sur $I=\mathbb{R}$
    On pose $u(x)=e^x+2$ et $v(x)=cos(x)$
    $f$ est la composée de la fonction affine $x\longmapsto e^x+1$ et de la fonction cosinus
    On pose $u(x)=e^x+2$ et $v(x)=cos(x)$ et on a $f(x)=vou(x)$
    $u'(x)=e^x$ et $v'(x)=-sin(x)$
    $f'(x)=v'ou(x)\times u'(x)=-sin(e^x+2)\times e^x=-e^x sin(e^x+2)$

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