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On donne le tableau de variation de la fonction $f$ définie sur $[-3;5]$
Dans chaque cas, dire si $f$ est continue sur $[-3;5]$.
Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ en justifiant la réponse.
Rappel:les flèches d'un tableau de variation traduisent la continuité de $f$.
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Dans chaque cas, dire si $f$ est continue sur $[-3;5]$.
Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ en justifiant la réponse.
Rappel:les flèches d'un tableau de variation traduisent la continuité de $f$.
- tableau 1
Théorème des valeurs intermédiaires
$f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ (avec $a
Cas où la fonction est monotone
Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et strictement monotone alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution.
$f$ strictement monotone signifie que $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante).Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour justifier que $f$ admet au moins une solution et que $f$ est strictement décroissante.Les flèches du tableau de variation traduisent la continuité de $f$
On a $f(-3)=1$ et $f(5)=-3$ donc $0$ est compris entre $f(-3)$ et $f(5)$
D'après le théorème des valeurs intermédiaires $f(x)$ prend au moins une fois la valeur $0$ sur $[-3;5]$
De plus, $f$ est strictement décroissante sur $[-3;5]$
- tableau 2
Utiliser le minimum de $f$ pour déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$Les flèches du tableau de variation traduisent la continuité de $f$
$f$ est strictement croissante sur $[-3;5]$ et $f(-3)=1$ donc le minimum de $f$ est 1
et donc $f(x)\geq 1$
La courbe représentative de $f$ est située au-dessus de l'axe des abscisses. - Tableau 3
Théorème des valeurs intermédiaires
$f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ (avec $a
Cas où la fonction est monotone
Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et strictement monotone alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution.
$f$ strictement monotone signifie que $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante).Il faut distinguer les intervalles $[-3;2]$ et $[2;5]$Les flèches du tableau de variation traduisent la continuité de $f$
Le minimum de $f$ est $3$ sur $[-3;2]$ donc $f(x)\geq 3$ sur $[-3;2]$
donc l'équation $f(x)=0$ n'admet aucune solution sur $[-3;2]$.
On a $f(2)=4$ et $f(5)=-2$ donc $0$ est compris entre $f(2)$ et $f(5)$
D'après le théorème des valeurs intermédiaires $f(x)$ prend au moins une fois la valeur $0$ sur $[2;5]$
De plus $f$ est strictement décroissante sur $[2;5]$
donc l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[2;5]$
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