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On considère la fonction $f$ définie sur $[0;5]$ par $f(x)=x^3-2x^2+3x-1$.
  1. Calculer $f'(x)$ puis dresser le tableau de variation de $f$.

    Signe de la dérivée et variations d'une fonction


    Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
    $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
    $f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$
    Pour déterminer les variations de la fonction $f$, il faut étudier les signe de $f'(x)$
    Pour étudier le signe d'un polynôme de degré 2, il faut chercher ses racines.
    $f'(x)=3\times x^2-2\times 2x+3+0=3x^2-4x+3$
    Rappel: Pour étudier les variations de $f$, il faut déterminer le signe de sa dérivée.
    Etude du signe de $f'(x)=3x^2-4x+3$ sur $[0;5]$:
    $\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\times 3 \times 3=16-36=-20$
    Il n'y a pas de racines et donc $f'(x)$ est du signe du coefficient $a=3$ de $x^2$ soit $f'(x)>0$
    $f(0)=0^3-2\times 0^2+3\times 0-1=-1$ et $f(5)=5^3-2\times 5^2+3\times 5-1=89$
    On a donc:
  2. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique sur $[0;5]$.

    Théorème des valeurs intermédiaires


    $f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ (avec $a Si $k$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors il existe au moins un réel $c\in [a;b]$ tel que $f(c)=k$.

    Cas où la fonction est monotone
    Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et strictement monotone alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution.
    $f$ strictement monotone signifie que $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante).
    Pour justifier que l'équation $f(x)=0$ admet une seule solution, il faut:
    $f$ continue sur I (intervalle de $\mathbb{R}$)
    0 compris entre $f(a)$ et $f(b)$ avec $a$ et $b$ dans l'intervalle I
    $f$ strictement croissante ou strictement décroissante (c'est à dire $f$ monotone) sur I
    On a $f(0)=-1$, $f(5)=89$
    $f$ est continue (fonction polynôme) et 0 est compris entre $f(0)$ et $f(5)$
    donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution sur $[0;5 ]$.
    De plus $f$ est strictement croissante sur $[0;5]$
  3. Avec la calculatrice, donner un encadrement d'amplitude $0,01$ de la solution $\alpha$ de l'équation $f(x)=0$.
    Utiliser le MENU TABLE de la calculatrice en saisissant la fonction $f$ puis en paramétrant dans SET XSTART=0, XEND=5 et STEP=1, puis en encadrant $\alpha$ à l'unité, modifier XSTART , XEND en conséquence et STEP=0,1 et ainsi de suite jusqu'à la précision du centième.
    Voir fiche méthode : encadrement de la solution d'une équation à la calculatrice.
    Avec le menu table de la calculatrice, dans le MENU TABLE de la calculatrice en saisissant la fonction $f$ puis en paramétrant dans SET XSTART=0, XEND=5 et STEP=1, on a alors:

    On a alors $f(0)<0$ et $f(1)>0$ donc $0 < \alpha <1$

    On reprend avec XSTART=0, XEND=1 et STEP=0,1 (pour encadrer aux dixièmes):

    On a alors $f(0,4)<0$ et $f(0,5)>0$ donc $0,4 < \alpha <0,5$


    On reprend avec XSTART=0,4, XEND=0,5 et STEP=0,01 (pour encadrer aux centièmes):

    On a alors $f(0,43)<0$ et $f(0,44)>0$ donc $0,43 < \alpha <0,44$
  4. En déduire la valeur arrondie aux dixièmes de $\alpha$.
    $0,43 < \alpha < 0,44$
    Le chiffre des centièmes est inférieur à 5 donc $\alpha \approx 0,4$.

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Théorème des valeurs intermédiaires

- théorème des valeurs intermédiaires
- unicité de la solution avec une fonction monotone
- encadrement de la solution
- cas d'une fonction non monotone - exemples


infos: | 15mn |

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