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On donne la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-6x^2+3$
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- Calculer $f'(x)$ puis $f''(x)$
Dérivées usuelles
$f(x)=x^2-6x^2+3$
$f'(x)=2x-6$
$f''(x)=(f'(x))'=2$
- En déduire la convexité de $f$
Signe de la dérivée seconde
Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$
si $f''(x)>0$ sur $I$ alors $f$ est convexe
si $f''(x)<0$ sur $I$ alors $f$ est concaveIl faut étudier le signe de $f~''(x)$$f''(x)=2$
donc $f~''(x)>0$
donc $f~'$ est strictement croissante sur $\mathbb {R}$
$f$ est une fonction polynôme de degré 2
donc la courbe représentative de $f$ est une parabole dont le sommet a pour abscisse $x_S=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{6}{1}=6$
La courbe est bien au-dessus de ses tangentes.
On peut aussi résumer l'étude ci-dessus avec un tableau:
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Lien entre dérivée seconde, dérivée et convexité
- convexité et variations de la dérivée
- convexité et signe de la dérivée seconde
infos: | mn |
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