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On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-x^2+6x-5$.
  1. Montrer que l'équation $f(x)=k$ admet une solution unique sur $\mathbb{R}$ pour tout réel $k$.

    Théorème des valeurs intermédiaires


    $f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ (avec $a Si $k$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors il existe au moins un réel $c\in [a;b]$ tel que $f(c)=k$.

    Cas où la fonction est monotone
    Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et strictement monotone alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution.
    $f$ strictement monotone signifie que $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante).
    Il faut étudier les variations de $f$ et ses limites.
    $f$ est une fonction polynôme de degré 3 donc continue sur $\mathbb{R}$.
    Pour tout réel $x\neq 0$ on a:
    $f(x)=x^3\left(1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{x^2}-\dfrac{5}{x^3}\right)$
    Par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} 1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{x^2}-\dfrac{5}{x^3}=1$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} x^3=+\infty$
    donc par produit $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=+\infty$

    Par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} 1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{x^2}-\dfrac{5}{x^3}=1$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} x^3=-\infty$
    donc par produit $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=-\infty$

    $f$ est donc continue et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=-\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=-\infty$ ($f(x)\in \mathbb{R}$
    donc avec le théorème des valeurs intermédiaires $f(x)=k$ avec $k$ réel admet au moins une solution sur $\mathbb{R}$.
    $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ car $f$ est une fonction polynôme de degré 3(somme de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$)
    $f'(x)=3x^2-2x+6$
    $\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\times 3\times 6=-68$
    $\Delta < 0$ donc il n'y a aucune racine et $f'(x)$ est donc du signe de $a=3$ coefficient de $x^2$
    donc $f'(x)> 0$ et $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
    On a donc $f$ strictement croissante sur $\mathbb{R}$
  2. Déterminer un encadrement à l'unité de cette solution si $k=0$.
    Il faut calculer $f(0)$ et $f(1)$
    On peut dresser le tableau de valeurs sur $[-10;10]$ de $f$ et on a $f(0)=-5$ et $f(1)=1$
    donc $0$ est compris entre$f(0)$et $f(1)$
  3. On donne l'algorithme ci-dessous:

    Compléter le tableau ci-dessous(zones grises) si on saisit $a=0$ et $a=1$ et donner le résultat affiché.
    Tableau:

  4. Modifier cet algorithme pour qu'il donne un encadrement de la solution d'amplitude inférieure à 0,001.
    On peut modifier la boucle POUR avec une boucle TANT QUE sachant que si $b-a > 0,001$, on doit continuer à affiner l'encadrement de la solution.
    Il faut utiliser une boucle TANT QUE avec un test sur l'amplitude de l'encadrement $b-a$ pour que cet différence soit avec pour test $b-a > 0, 001$.

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