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L'entreprise CoTon produit du tissu en coton. Celui-ci est fabriqué en 1 mètre de large et pour une longueur $x$ exprimée en kilomètre, $x$ étant compris entre $0$ et $10$.
Le coût total de production en euros de l'entreprise CoTon est donné en fonction de la longueur $x$ par $C(x) = 15x^3 - 120x^2 + 500x + 750$.
Le graphique ci-dessous donne la représentation graphique de la fonction $\mathcal{C}$.

Les deux parties A et B de cet exercice sont indépendantes.
Partie A : Étude du bénéfice
Si le marché offre un prix $p$ en euros pour un kilomètre de ce tissu, alors la recette de l'entreprise CoTon pour la vente d'une quantité $x$ est égal à $R(x) = px$.
  1. Tracer sur le graphique de l'annexe 2 la droite $D_{1}$ d'équation $y = 400x$.
    Expliquer, au vu de ce tracé, pourquoi l'entreprise CoTon ne peut pas réaliser un bénéfice si le prix $p$ du marché est égal à $400$~euros.
    La droite d'équation $y=400x$ passe par l'origine du repère et a pour coefficient directeur 400.
    On peut déterminer les coordonnées d'un autre point de la droite $D_1$
    La droite $D_1$ passe par l'origine du repère et si $x=10$, on a $y=400\times 10=4000$

    Dans ce cas, on a $f(x)>480x$ donc la recette totale reste inférieure au coût total de production
  2. Dans cette question on suppose que le prix du marché est égal à $680$~euros.
    1. Tracer sur le graphique de l'annexe 2 la droite $D_{2}$ d'équation $y = 680x$.
      Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique, pour quelles quantités produites et vendues, l'entreprise CoTon réalise un bénéfice si le prix $p$ du marché est de $680$~euros.
      La droite d'équation $y=680x$ passe par l'origine du repère et a pour coefficient directeur 680.
      On peut déterminer les coordonnées d'un autre point de la droite $D_2$
      Pour que l'entreprise réalise un bénéfice, il faut que le coût total de production soit inférieur à la recette totale.
      La droite $D_2$ passe par l'origine du repère et si $x=10$, on a $y=680\times 10=6800$

      Pour que l'entreprise réalise un bénéfice, il faut que le coût total de production soit inférieur à la recette totale.
      Graphiquement, il faut donc résoudre l'inéquation $f(x)\leq 680x$.
      Graphiquement, les solutions de l'inéquation $f(x)\leq 680x$ les abscisses des points de la courbe $\mathcal{C}$ situés en-dessous de $D_2$
      soit pour $x\in [2;8,7]$.
    2. Par lecture du graphique, conjecturer le nombre de points d'inflexion de la la courbe $\mathcal{C}$ et leurs abscisses.
      include217clude
      Graphiquement, il semble qu'il y ait un point d'inflexion au point d'abscisse 2,6.
    3. Justifier par le calcul la conjecture observée à la question précédente.
      Calculer $C'(x)$ puis $C''(x)$
      Etudier le signe de $C''(x)$
      $C(x) = 15x^3 - 120x^2 + 500x + 750$
      $C'(x) = 15\times 3x^2 - 120\times 2x + 500=45x^2-240x+500$
      $C''(x)=45\times 2x -120=90x-240$
      $90x-240>0 \Longleftrightarrow 90x>240 \Longleftrightarrow x>\dfrac{240}{90} \Longleftrightarrow x=\dfrac{8}{3}$

    4. On considère la fonction $B$ définie sur l'intervalle $[0~; ~10]$ par $B(x) = 680x - C(x)$.
      Démontrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~10]$ on a $B'(x) = - 45x^2 + 240x + 180$.
      Exprimer $B(x)$ en fonction de $x$ puis calculer $B'(x)$
      $B(x) = 680x - C(x)=680x-(15x^3 - 120x^2 + 500x + 750)=-15x^3 + 120x^2 +180x - 750$
      $B'(x)=-15\times 3x^2+120\times 2x+180=-45x^2+240x+180$
    5. Étudier les variations de la fonction $B$ sur $[0~;~10]$.
      Il faut étudier le signe de $B'(x)$
      $B'(x) = - 45x^2 + 240x + 180$
      Etude du signe de $- 45x^2 + 240x + 180$
      $\Delta=b^2-4ac=240^2-4\times (-45)\times 180=90~000$
      $\Delta>0$ donc il y a deux racines:
      $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-240-300}{-90}=6$
      et
      $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-240+300}{-90}=\dfrac{-2}{3}$
      Penser à contrôler les racines obtenues avec le MENU EQUA de la calculatrice avec les options POLY puis DEGRÉ 2 et en saisissant $a=-45$, $b=240$ et $c=180$fat

      Avec le MENU TABLE de la calculatrice, on obtient $B(0)=-750$, $B(6)=1410$ et $B(10)=-1950$
    6. En déduire pour quelle quantité produite et vendue le bénéfice réalisé par l'entreprise CoTon est maximum. Donner la valeur de ce bénéfice.
      Utiliser le tableau de variation de la fonction $B$.
      D'après le tableau de variation, le maximum est atteint en $x=6$ et vaut $B(6)=1410$


Partie B : Étude du coût moyen
On rappelle que le coût moyen de production $C_{M}$ mesure le coût par unité produite.
On considère la fonction $C_{M}$ définie sur l'intervalle $[0~;~10]$ par $C_{M}(x) = \dfrac{C(x)}{x}$.
  1. Démontrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~10]$ on a $C'_{M}(x) = \dfrac{30(x - 5)\left(x^2 + x + 5\right)}{x^2}$.

    Formules de dérivation (produit, quotient...)


    Exprimer $C_M(x)$ en fonction de $x$
    On peu poser $u(x)=C(x)$ et $v(x)=x$
    Pour vérifier que $C'_m(x)$ est bien égal à l'expression donnée dans l'énoncé, on peut développer $30(x - 5)\left(x^2 + x + 5\right)$ et comparer avec le résultat obtenu en calculant $C'_M(x)$
    On pose $u(x)=C(x)= 15x^3 - 120x^2 + 500x + 750 $ et $v(x)=x $ et on a $u'(x)= 45x^2-240x+500 $ et $v'(x)= 1 $
    $C_M~'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$

    $\phantom{C_M~'(x)}=\dfrac{( 45x^2-240x+500 )( x )-( 15x^3 - 120x^2 + 500x + 750 ) \times 1 }{ x ^2}$
    $\phantom{C_M~'(x)}=\dfrac{ 45x^3-240x^2+500x - 15x^3 + 120x^2 - 500x - 750 }{ x ^2}$
    $\phantom{C_M~'(x)}=\dfrac{ 30x^3-120x^2- 750 }{ x ^2}$
    $30(x - 5)\left(x^2 + x + 5\right)=30(x^3+x^2+5x-5x^2-5x-25)=30x^3-120x^2-750$
    1. Démontrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~10]$, $C'_{M}(x)$ est du signe de $(x - 5)$.
      En déduire les variations de la fonction $C_{M}$ sur l'intervalle $]0~;~10]$.
      $x^2>0$ donc $C'_M(x)$ est du signe de son numérateur
      Il faut étudier le signe de $x^2 + x + 5$
      Etude du signe de $x^2 + x + 5$
      $\Delta=b^2-4ac=1-4\times 1\times 5=-19$
      $\Delta <0$ donc il n'y a aucune racine
      donc $x^2 + x + 5$ est de signe constant et du signe de $a=1$ coefficient de $x^2$
      donc $x^2+x+5>0$

      On pouvait éviter le calcul de $\Delta$ en remarquant que $x>0$ et $x^2>0$ donc $x^2+x+5>5>0$....
      $x^2>0$ et $x^2+x+5>0$ donc $C'_M(x)$ est du signe de $x-5$.

      $C_M(5)=425$ et $C_M(10)=875$
    2. Pour quelle quantité de tissu produite le coût moyen de production est-il minimum ?
      Que valent dans ce cas le coût moyen de production et le coût total ?
      D'après le tableau de variation obtenu à la question précédente, le coût moyen est minimum pour une production de 5 km et le coût moyen est alors de $C_M(5)=425$ euros par km de tissu.
      Le coût total est dans ce cas de $C(5)=5\times C_M(5)=2125$ euros.

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