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La fonction $g$ est définie par $g(x)=e^{ln(x)}$.

La dérivée de la fonction $ln$ est supposée ne pas être connue.
  1. Donner l'ensemble de définition $D$ de $g$.
    $ln$ est définie pour $x>0$
    $g$ est la composée de la fonction exponentielle définie sur $\mathbb{R }$ et de la fonction logarithme définie sur $]0;+\infty[$
    donc $g$ est définie pour tout réel $x >0$
  2. On admet que $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
    Calculer $g'(x)$ en fonction de $u$ et $u'$.

    Cas de la fonction $e^{u}$


    La fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=e^{u(x)}$ avec $u$ fonction dérivable sur $I$ est dérivable sur $I$ et $f'(x)=u'(x)e^{u(x)}$
    On dérive la composée $vou$ avec $u(x)=ln(x)$ et $v(x)=e^x$
    La fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ est la composée de $u$ et $v$ avec avec $u(x)=ln(x)$ et $v(x)=e^x$.
    On a $f=vou$ donc $f'(x)=(vou(x))'=v'ou(x)\times u'(x)$
    avec $v'(x)=e^x$.
    $g'(x)=v'(u(x))\times u'(x)$
    $~~~~=e^{ln(x)}\times u'(x)$ (rappel: $e^{ln(x)}=x$)
    $~~~~=x\times u'(x)$
  3. Montrer que $g'(x)=1$ et en déduire $u'(x)$
    $e^{ln(x)}=x$
    $g(x)=e^{ln(x)}=x$ donc $g'(x)=1$
    On a donc $g'(x)=xu'(x)=1 \Longleftrightarrow u'(x)=\dfrac{1}{x}$

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