La fonction $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $x-2 > 0$.
$x-2 >0 \Longleftrightarrow x > 2$
On résout donc cette équation sur $]2;+\infty[$
$ln(x-2)=3 \Longleftrightarrow ln(x-2)=ln(e^3)$ (on a $ln(e^3)=3$)
$\phantom{ln(x-2)=3} \Longleftrightarrow x-2=e^3$
$\phantom{ln(x-2)=3} \Longleftrightarrow x=2+e^3$
On a bien $2+e^3 \in ]2;+\infty[$
donc $S=\lbrace 2+e^3 \rbrace$

La fonction $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $6-2x > 0$.
$6-2x >0 \Longleftrightarrow -2x > -6 \Longleftrightarrow x < 3$ l'inégalité change de sens en divisant par $-2$
On résout donc cette équation sur $]-\infty;3[$
$ln(6-2x)=ln(2) \Longleftrightarrow 6-2x=2$
$\phantom{ln(6-2x)=ln(2)} \Longleftrightarrow -2x=-4$
$\phantom{ln(6-2x)=ln(2)} \Longleftrightarrow x=2$
On a bien $2 \in ]-\infty;3[$
donc $S=\lbrace 2 \rbrace$

La fonction $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $x^2-3x+2 > 0$.
Recherche des racines de $x^2-3x+2$
$x_1=1$ est une racine de $x^2-3x+2$ et $x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2$
donc $x_2=2$

On résout donc cette équation sur $]-\infty;1[ \cap ]2;+\infty[$ $ln(x^2-3x+2)=0 \Longleftrightarrow x^2-3x+2=1$
$\phantom{ln(x^2-3x+2)=0} \Longleftrightarrow x^2-3x+1=0$
$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\times 1 \times 1=5$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines
$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{ 3+\sqrt{5} }{ 2 }\approx 2,62$
et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{ 3-\sqrt{5} }{ 2 }\approx 0,38$
On a bien $x_1 \in ]-\infty;3[$ et $x_2 \in ]-\infty;3[$
donc $S=\left\lbrace \dfrac{ 3-\sqrt{5} }{ 2 }; \dfrac{ 3+\sqrt{5} }{ 2 } \right\rbrace$