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L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

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Tous les chapitres avec pour chaque notion:
- mémo cours
- exercices corrigés d'application directe
- liens vidéos d'explications.
Il est indispensable de maîtriser parfaitement les notions de base et leur application directe pour pourvoir ensuite les utiliser dans la résolution de problèmes plus complexes.

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Résoudre les inéquations suivantes en précisant l'ensemble de résolution.
  1. $ln(3x+6)+ln(2)>1$

    Propriétés algébriques du logarithme


    Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a:
    $ln(ab)=ln(a)+ln(b)$
    $ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=ln(a)-ln(b)$
    $ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=-ln(b)$
    $ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}ln(a)$
    pour tout entier naturel $n >0$ on a $ln\left(a^n\right)=nln(a)$
    $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $3x+6 > 0$
    On a ln(e)=1$
    La fonction $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $3x+6 > 0$ soit $x >-2$.
    On résout donc cette inéquation sur $]-2;+\infty[$
    $ln(3x+6)+ln(2)>1 \Longleftrightarrow ln(2(3x+6)) > ln(e)$
    $\phantom{ln(3x+6)+ln(2)>1} \Longleftrightarrow 2(3x+6)>e$
    $\phantom{ln(3x+6)+ln(2)>1} \Longleftrightarrow 6x+12>e$
    $\phantom{ln(3x+6)+ln(2)>1} \Longleftrightarrow 6x> e-12$
    $\phantom{ln(3x+6)+ln(2)>1} \Longleftrightarrow x> \dfrac{e-12}{6}$
    $\dfrac{e-12}{6}\approx -1,5$
  2. $ln(4-x)+ln(x+1)>ln(4 )$

    Propriétés algébriques du logarithme


    Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a:
    $ln(ab)=ln(a)+ln(b)$
    $ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=ln(a)-ln(b)$
    $ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=-ln(b)$
    $ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}ln(a)$
    pour tout entier naturel $n >0$ on a $ln\left(a^n\right)=nln(a)$
    $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $4-x> 0$ et $x+1 >0$
    Il faut se ramener à une inégalité de la forme $ln(A)> ln(B)$ avec $A>0$ et $B>0$
    $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $4-x > 0$ soit $x+1 >0$
    $\begin{cases} 4-x >0\\ x+1>0 \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} 4>x \\ x> -1 \end{cases}$
    On résout sur $]-1;4[$.
    $ln(4-x)+ln(x+1)>ln(4 ) \Longleftrightarrow ln((4-x)(x+1))> ln(4)$
    $\phantom{ln(4-x)+ln(x+1)>ln( 4 )} \Longleftrightarrow (4-x)(x+1)>4$
    $\phantom{ln(4-x)+ln(x+1)>ln( 4 )} \Longleftrightarrow -x^2+3x+4 >4$
    $\phantom{ln(4-x)+ln(x+1)>ln( 4 )} \Longleftrightarrow -x^2+3x>0$
    $\phantom{ln(4-x)+ln(x+1)>ln( 4 )} \Longleftrightarrow x(-x+3)>0$
    Les racines de $-x^2+3x$ sont donc $x_1=0$ et $x_2=3$.
    $x\in ]-1;4[$


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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Calculs de dérivées

- dérivée de ln et utlisation de la dérivée d'un produit ou quotient
- dérivée de la composée avec ln


infos: | 20mn |

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