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On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x^2+ln(x)$.
On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal.
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On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal.
- Déterminer les limites de de la fonction $f$ en $+\infty$ puis en $0^+$.
Limites de ln
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}ln(x)=-\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}ln(x)=+\infty$On peut chercher la limite de $x^2$ et de $ln(x)$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x^2=+\infty$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}ln(x)=+\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}x^2=0$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}ln(x)=-\infty$
- Calculer la dérivée de $f$ et dresser le tableau de variation de $f$.
Dérivée de la fonction ln
La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$On peut dériver "terme à terme" soit $x^2$ et $ln(x)$La fonction carré est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc sur $]0;+\infty[$
et la fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$
donc la somme $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
$f'(x)=2x+\dfrac{1}{x}$
$x>0$ donc $2x >0$ et $\dfrac{1}{x} >0$ donc $f'(x) >0$ et $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
- En déduire que l'équation $ln(x)=-x^2$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$ et en donner un encadrement d'amplitude 0,01.
Théorème des valeurs intermédiaires
$f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ (avec $a
Cas où la fonction est monotone
Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et strictement monotone alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution.
$f$ strictement monotone signifie que $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante).$ln(x)=-x^2 \Longleftrightarrow x^2+ln(x)=0$
Il faut utiliser les variations de $f$ et ses limites pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires$f$ est continue (somme de fonctions continues) sur $]0;+\infty[$
avec $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}f(x)=-\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$
donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires $f(x)$ prend au moins une fois la valeur $0$ sur $]0;+\infty[$
De plus $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ donc cette solution est unique.
Pour tout réel $x >0$ on a $ln(x)=-x^2 \Longleftrightarrow x^2+ln(x)=0 \Longleftrightarrow f(x)=0$
Avec le MENU TABLE de la calculatrice, on obtient $f(0,65)\approx -0,008$ et $f(0,66)\approx 0,02$
donc $0,65 < \alpha < 0,66$.
- Étudier la convexité de $f$.
Dérivées usuelles
Signe de la dérivée seconde
Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$
si $f''(x)>0$ sur $I$ alors $f$ est convexe
si $f''(x)<0$ sur $I$ alors $f$ est concave$f'(x)=2x+\dfrac{1}{x}$
$f''(x)=2-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{2x^2-1}{x^2}$
$x^2 >0$ donc $f''(x)$ est du signe de $2x^2-1$.
$2x^2-1=0\Longleftrightarrow x^2=\dfrac{1}{2} \Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ou $x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
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